流体力学

粘度とレイノルズ数

粘度は流体内部の摩擦を表し、レイノルズ数は慣性と粘性の効果を比べて流れを特徴づけます。

実在流体は粘性によってせん断に抵抗します。低いレイノルズ数では層流が多く、慣性が優勢になると変動や乱流混合が生じやすくなります。

Re=\frac{\rho vL}{\mu}=\frac{vL}{\nu},\qquad \tau=\mu\frac{\partial u}{\partial y}

定義: 粘性係数

動粘度 $\mu$ (Pa·s) はせん断応力と速度勾配を結びます。動粘度は $\nu=\mu/\rho$ (m²/s) です。 $L$ と $v$ は代表長さと速度です。

レイノルズ数を変えて流れの変化を定性的に観察し、円管内の層流ポアズイユ分布を確認します。

管内流れの状態

直円管では低い $Re$ が層流に適しています。遷移は外乱や入口条件にも依存し、 $Re\approx2300$ は一般的な目安であって厳密な普遍閾値ではありません。高 $Re$ では慣性が変動や乱流混合を保ちます。

ポアズイユ流速分布

u(r)=\frac{\Delta p}{4\mu\ell}(R^2-r^2),\qquad Q=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\mu\ell}

円管内で十分発達したニュートン流体の層流は放物線状です。すべりなし条件で壁面の速度はゼロ、軸上で最大となります。ポアズイユ式には層流など適切な仮定が必要です。

例: レイノルズ数の見積もり

水 ( $\rho=1000\,\mathrm{kg/m^3}$ 、 $\mu=0.001\,\mathrm{Pa\,s}$ ) が直径 $D=0.010\,\mathrm m$ の管を $v=0.20\,\mathrm{m/s}$ で流れます。 $Re$ を求めます。

解答

$Re=\rho vD/\mu=1000(0.20)(0.010)/0.001=2000$ です。滑らかな管では層流域に当たることが多いものの、遷移は外乱にも依存します。

クイックチェック

例: 管内レイノルズ数の見積もり

$ho=1000,mathrm{kg/m^3}$ 、 $mu=1.0 imes10^{-3},mathrm{Pa,s}$ の水が、直径 $D=0.020,mathrm m$ の管を平均速度 $v=0.10,mathrm{m/s}$ で流れます。このとき $Re= ho vD/mu=2000$ です。円管でよく見られる遷移域に近いため、入口の擾乱や粗さによって層流が保たれるか不安定化するかが変わります。単一の臨界値を絶対的な境界とみなしてはいけません。

速度の増加で $Re$ が上がると、どの効果が相対的に強くなりますか。

層流ポアズイユ流で速度が最大となるのはどこですか。

参考文献

Frank M. White (2016). Fluid Mechanics