Mécanique analytique

Équations de Hamilton, espace des phases

Suivez un oscillateur harmonique dans l'espace des phases et vérifiez les équations de Hamilton $\dot q=\partial H/\partial p$ , $\dot p=-\partial H/\partial q$ , y compris la façon dont le cisaillement canonique $Q=q$ , $P=p+\alpha q$ conserve l'aire de phase.

Licence

Matériel

Canevas du plan de phase $(q,p)$ montrant l'orbite de l'oscillateur
Courbes pleines (q,p) et en pointillés transformées (Q,P) tracées ensemble
Curseur « énergie E » et bouton « pause »

Protocole

Lire une orbite de phase
Laissez l'oscillateur tourner et observez le point tracer une boucle fermée dans $(q,p)$ . Chaque point est un état, non une position physique ; pour $H=p^2/2m+\tfrac12m\omega^2q^2$ la boucle est une ellipse d'aire $2\pi E/\omega$ .
Vérifier le sens du flot
Mettez en pause en haut de la boucle où $\dot q=\partial H/\partial p=p/m$ s'annule et $\dot p=-\partial H/\partial q=-m\omega^2q$ est extrême — l'orbite s'y retourne. Vérifiez le sens horaire et la cohérence des signes de $\dot q$ et $\dot p$ dans chaque quadrant.
Comparer les coordonnées transformées
Examinez la courbe en pointillés $Q=q$ , $P=p+\alpha q$ ( $\alpha=0.7$ ) : l'ellipse est cisaillée et inclinée, mais l'aire enclose est inchangée car $\mathrm dQ\wedge\mathrm dP=\mathrm dq\wedge\mathrm dp$ . C'est une transformation canonique — même dynamique, nouvelles coordonnées.
Changer l'énergie
Déplacez le curseur d'énergie E et regardez l'ellipse grandir : ses demi-axes varient en $\sqrt{E}$ tandis que l'aire croît linéairement. Prédisez la forme de l'orbite à E doublée puis vérifiez — et expliquez pourquoi la conservation de l'aire de phase s'appelle le théorème de Liouville.

Simulation

Histoire de l’expérience

William Rowan Hamilton reformula la mécanique en 1834–35 autour d'une seule fonction

H(q,p)

, remplaçant les équations du second ordre de Lagrange par des paires symétriques du premier ordre

\dot q_i=\partial H/\partial p_i

\dot p_i=-\partial H/\partial q_i

. D'abord développé pour l'optique, le schéma n'entra dans la mécanique courante que des décennies plus tard. L'espace des phases donna ensuite son langage à la mécanique statistique : le théorème de Liouville (1838) dit que le flot hamiltonien conserve le volume, fondement des ensembles de Gibbs. La structure hamiltonienne sous-tend aussi la théorie quantique — le commutateur de q et p reflète leur crochet de Poisson classique,

\{q,p\}=1

Physiciens associés

Isaac Newton Joseph-Louis Lagrange

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