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解析力学

一般化運動量とハミルトニアン

調和振動子をハミルトン形式で調べます。曲面 H(q,p)=p2/(2m)+mω2q2/2H(q,p) = p^2/(2m) + m\omega^2 q^2/2 と相空間軌道を見て、等高線 H=EH = E が qmax=2E/mω2q_{max} = \sqrt{2E/m\omega^2}、pmax=2mEp_{max} = \sqrt{2mE} の楕円になることを確かめます。

大学

器具

  • 「1. 曲面 H(q, p)」キャンバス：振動子の3Dエネルギー曲面。ドラッグ・矢印キーで回転
  • 「2. 相平面の軌道」キャンバス：あるエネルギー準位に対応する位相楕円
  • スライダー「角周波数 ω」（50–200 rad/s）
  • スライダー「エネルギー E」（20–180 J）
  • 読み出し「H(q,p)=…, ω=…, E=…」と「qmax = √(2E/mω²) = …; pmax = √(2mE) = …」

手順

  1. エネルギー面上のハミルトニアンを読む

    セクション1で「角周波数 ω」と「エネルギー E」を動かし、「H(q,p)=p²/(2m)+mω²q²/2; m=1 kg, ω=…, E=…」を読みます。曲面をドラッグで回転し、ω が大きいほどポテンシャル mω2q2/2m\omega^2q^2/2 が急になることを確認します。H = 一定の平面は曲面を楕円で切ります。

  2. 位相楕円の半軸を測る

    セクション2で「qmax = √(2E/mω²)」と「pmax = √(2mE)」を読みます。自分で検算：ω = 100 rad/s、E = 80 J（m = 1 kg）なら qmax=2⋅80/1002=0.126q_{max} = \sqrt{2\cdot80/100^2} = 0.126 m、pmax=160=12.65p_{max} = \sqrt{160} = 12.65 kg·m/s のはずです。キャンバスの楕円の大きさと比べて記録します。

  3. ハミルトン方程式の接線流を確かめる

    位相楕円を観察します。q = qmax では p = 0 で p˙=−mω2q<0\dot p = -m\omega^2 q < 0 なので状態点は下へ進み、p = pmax では q˙=p/m>0\dot q = p/m > 0 で右へ進みます。軌道は (q, p) 平面上を時計回りに流れます。ω と E を変えても楕円の大きさは変わるだけで、流れの向きと H=EH = E の保存は変わりません。

  4. ω と E を変えたときの予測

    スライダーを動かす前に予測します。ω を2倍にすると qmax は半分になるが pmax は E にのみ依存するので不変です。E を上げると両半軸は E\sqrt{E} に比例します。楕円の面積は A=πqmaxpmax=2πE/ωA = \pi q_{max}p_{max} = 2\pi E/\omega。E を固定して ω を変え、2つの読み値を再確認すると、積 qmax·pmax はちょうど 1/ω に比例して減るはずです。

シミュレーション

実験の歴史

1788年、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュは『解析力学』を刊行し、力の図示を用いず一般化座標 q_i と共役運動量 p_i = ∂L/∂q̇_i で力学を再定式化しました。アドリアン＝マリー・ルジャンドルはそれ以前（1787年）に、独立変数を q̇ から p へ取り替える「ルジャンドル変換」を導入していました。 1834–1835年、ウィリアム・ローワン・ハミルトンは「力学の一般方法について」の2編の論文で、ラグランジュの2階方程式を 2n 個の1階方程式 q˙i=∂H/∂pi\dot q_i = \partial H/\partial p_i、p˙i=−∂H/∂qi\dot p_i = -\partial H/\partial q_i（H=∑piq˙i−LH = \sum p_i\dot q_i - L）に書き換えました。H が時間に陽に依存しないとき H は保存しエネルギーに一致します。シミュレーションに表示される等値面 H(q,p) = E はまさにこれです。

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