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Mécanique analytique

Théorème de Liouville

Illustrez le théorème de Liouville : le flot hamiltonien conserve le volume de l'espace des phases (∇(q,p)⋅z˙=0\nabla_{(q,p)}\cdot\dot z = 0). Observez l'orbite s'enroulant sur un tore invariant de dimension 2 et faites varier le rapport de fréquences ω2/ω1\omega_2/\omega_1 pour voir la structure de l'orbite changer tandis que le tore — ensemble de niveau des intégrales premières — reste invariant.

Avancé

Matériel

  • Canvas de tore 3D avec l'orbite enroulée autour (glisser pour tourner, flèches pour changer la vue)
  • Curseur « Tỉ lệ quấn ω₂/ω₁ » (lecture 0.xx–1.70)
  • Bouton « Tạm dừng / Chạy tiếp »
  • Affichage décrivant le tore comme ensemble de niveau à 2 dimensions d'un système intégrable

Protocole

  1. Observer l'orbite sur le tore

    Regardez la courbe rouge s'enrouler sur le tore dans le canvas ; glissez ou utilisez les flèches pour tourner la vue. L'affichage précise que le tore illustre un ensemble de niveau à 2 dimensions d'un système intégrable à deux degrés de liberté — la surface J1=J_1 = const, J2=J_2 = const. Tout point initial sur cette surface y demeure : le flot de phase conserve l'ensemble et son volume.

  2. Modifier le rapport d'enroulement ω₂/ω₁

    Déplacez le curseur « Tỉ lệ quấn ω₂/ω₁ » et surveillez l'affichage adjacent (montré comme value/100). Quand le rapport est proche de rationnels simples (0.50, 1.00, 1.50), l'orbite se referme presque après quelques tours ; un rapport irrationnel fait couvrir le tore densément par la courbe. Appuyez sur « Tạm dừng » pour examiner la forme, puis « Chạy tiếp » pour reprendre.

  3. Relier à la conservation du volume de phase

    Remarquez que, quel que soit le rapport ω₂/ω₁, la courbe reste confinée au même tore — elle ne déborde pas et ne s'effondre pas en un point. Cela illustre deux résultats : l'invariance du tore (parce que les actions JiJ_i sont conservées) et le théorème de Liouville qui conserve le volume de phase, ∇(q,p)⋅z˙=0\nabla_{(q,p)}\cdot\dot z = 0. Comparez deux rapports très différents et prédisez qu'à un rapport irrationnel l'orbite remplira le tore.

Simulation

Histoire de l’expérience

En 1838, le mathématicien français Joseph Liouville démontra que le flot de phase engendré par les équations de Hamilton est incompressible : une région d'états initiaux dans l'espace des phases (q,p)(q, p) se déforme mais conserve son volume, ce qui s'écrit ∇(q,p)⋅z˙=0\nabla_{(q,p)}\cdot\dot z = 0. Ce résultat devint ensuite le socle de la mécanique statistique — une densité de probabilité ρ\rho sur l'espace des phases obéit à une équation de continuité. Le volet géométrique de la simulation concerne la structure des orbites : pour un système intégrable à nn degrés de liberté, la théorie action–angle de Delaunay (années 1840), énoncée en entier par Liouville (1855) et démontrée rigoureusement dans sa forme moderne par V. I. Arnold, montre que les ensembles de niveau compacts sont des tores de dimension nn où le mouvement est un flot linéaire de fréquences ωi\omega_i. Sur un tore à 2 dimensions, l'orbite se referme si ω2/ω1\omega_2/\omega_1 est rationnel et couvre le tore densément s'il est irrationnel — exactement ce que la figure illustre.

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