正弦関数が 0 になるのは $\pi$ の整数倍のときだけなので、$kL$ は正の整数 $n$ を用いて $n\pi$ に等しくなければなりません(n=0 は自明な解 $y\equiv 0$ を与え、波ではありません)。$k=2\pi/\lambda$ を代入して $\lambda_n$ について解くと、述べられていた定在波の条件がちょうど得られます。