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電磁気学

コンデンサーと電気容量

コンデンサーは電荷と電場のエネルギーを蓄えます。電気容量は単位電圧あたりに蓄えられる電荷を表します。

コンデンサーは絶縁体を挟んだ二つの導体からなります。電源につなぐと両極板に異符号の電荷が蓄えられ、その間に電場ができます。理想的な平行板コンデンサーでは、極板面積が大きいほど容量は大きく、間隔が広いほど小さくなります。

C=QU,C=εAd (parallel plates),W=12CU2=Q22CC=\frac{Q}{U},\qquad C=\varepsilon\frac{A}{d}\ (\text{parallel plates}),\qquad W=\frac{1}{2}CU^2=\frac{Q^2}{2C}

定義: 電気容量

電気容量 CC の単位はファラド (F) です。QQ は各極板の電荷の大きさ、UU は極板間電圧です。線形領域では、CC は形状と誘電体で決まり、QQ や UU には依存しません。平行板の式で AA は板面積、dd は間隔、ε\varepsilon は誘電率です。

極板面積、間隔、電圧を変え、電気容量、蓄積電荷、エネルギーを確認しましょう。

コンデンサーの接続

並列接続では各コンデンサーの電圧が等しいため、合成容量は和になります。直列接続では各コンデンサーの電荷の大きさが等しく、電圧が分配され、合成容量の逆数は各容量の逆数の和です。

C∥=C1+C2,1Cs=1C1+1C2C_{\parallel}=C_1+C_2,\qquad \frac{1}{C_{\mathrm{s}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}

例: コンデンサーのエネルギー

100 μ100\,\muF のコンデンサーを 1212 V まで充電します。電荷と蓄積エネルギーを求めなさい。

解答

Q=CU=100×10−6×12=1.2×10−3Q=CU=100\times10^{-6}\times12=1.2\times10^{-3} C です。W=CU2/2=7.2×10−3W=CU^2/2=7.2\times10^{-3} J です。

極板間を誘電体で満たすと分子が分極して内部の電場を弱め、同じ電圧でもより多くの電荷を蓄えられます。電源につないだままの場合と、切り離して孤立させた場合を区別しましょう。接続中は UU が一定、孤立後は QQ が一定です。たとえば間隔と誘電体を変えずに極板面積を2倍にすると、C=εA/dC=\varepsilon A/d により容量も2倍になります。

蓄えられるのは極板間の電場のエネルギーであり、エネルギーが新たに生まれるわけではありません。コンデンサーが負荷を通じて放電すると、このエネルギーは熱、光、または機械的仕事へ変わります。

クイックチェック

容量 C=5 μC=5\,\muF のコンデンサーに 1010 V を加えます。各極板の電荷の大きさはいくらですか。

二つのコンデンサーを並列接続したときの合成容量は:

参考文献

  1. Young, Freedman (2019). University Physics