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素粒子物理学

場の量子論における繰り込み

繰り込みはスケール依存の発散を再定義された場・パラメータに吸収します。観測量は有限となり、結合定数はエネルギースケールとともに変化します。

ループ積分は非常に大きな運動量まで及び、紫外発散を生じます。カットオフなどで正則化し、正規化スケール μ で定義した物理量を用いて結果を表します。

μdgdμ=β(g),g0=Zg(g,Λ/μ)g(μ)\mu\frac{dg}{d\mu}=\beta(g),\qquad g_0=Z_g(g,\Lambda/\mu)g(\mu)

定義: 定義と物理的意味

裸パラメータは正則化に依存し観測できません。繰り込みパラメータは μ に依存し、全次数まで計算すれば物理予測は μ に依存しません。β 関数が走りを支配します。

パラメータを調整し、図をドラッグしてモデルを観察します。数値は表示された仮定のもとでの定量的な例です。

構造と解釈

繰り込み群 (RG) は異なる μ での物理を比較します。RG 方程式を解くと有効結合が変化し、QED ではエネルギーとともに緩やかに増加、QCD では β<0 により高エネルギーで減少して漸近的自由が生じます。

例: 定量例

QCD の1ループでは β(g)=−b₀g³/(16π²)+…、b₀=11−2n_f/3>0（n_f が十分小さい）です。したがって αₛ(Q²)≈4π/[b₀ ln(Q²/Λ²)] は Q とともに減少します。

解答

Q とともに対数が増えるため αₛ は減少します。Q≈Λ では1ループ式が破綻し、結合が強くなるため格子 QCD などの非摂動法が必要です。

繰り込み計算では、次元正則化での最小減算など、まず方式を選びます。極項は質量・場・結合定数の反項に吸収し、基準スケールでの測定により繰り込まれた量を定めます。基準スケールを変えるとパラメータは走りますが、一貫して組み立てた物理予測は全次数で不変です。

スケール μ\mu はパラメータを定義する基準であり、物理的なカットオフエネルギーとは限りません。摂動計算を有限次数で打ち切ると予測にはわずかな μμ 依存性が残り、その変化は未計算次数の不確かさを見積もります。方式が異なれば結合定数の数値も異なりますが、正確に変換すれば同じ観測予測を与えます。

確認問題

結合 g の走りを記述する式はどれですか。

高エネルギーで QCD 結合はどうなりますか。

参考文献

  1. Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder (1995). An Introduction to Quantum Field Theory
  2. Steven Weinberg (1995). The Quantum Theory of Fields, Volume I