電磁力学

静電場・導体・誘電体

静電場は電荷によって生じます。静電平衡の導体内部の電場はゼロで、誘電体は外場中で分極します。

静電気学は電磁気学の時間に依存しない極限です。自由電荷は電束密度の源となり、束縛電荷は物質の分極として扱います。

解釈と帰結

境界条件では E の接線成分が連続し、D の法線成分は自由表面電荷密度 σ_f だけ不連続になります。

$E_t$ の連続性と $D_{2n}-D_{1n}=\sigma_f$ により界面の場が決まります。導体内部では $E=0$ なので、真空中の表面直外では $E_n=\sigma_f/\varepsilon_0$ です。これが静電遮蔽や、鋭い先端で電荷が集中して局所電場が強くなる理由です。

誘電体では分極 $P$ が束縛体積電荷 $\rho_b=-\nabla\cdot P$ と表面電荷 $\sigma_b=P\cdot\hat n$ を生みます。$D$ に対するガウス則が自由電荷だけを含むのは、微視的な双極子応答がすでに $P$ に含まれているためです。これは全電荷を数える $\nabla\cdot E=\rho_{\rm total}/\varepsilon_0$ とは異なる巨視的な整理です。

面積 $A$、間隔 $d$ の平行板コンデンサーに一様な誘電体を入れると、$E$ と $D$ の違いが分かります。端効果を無視すれば $C=\varepsilon A/d$、$E=V/d$、$D=\varepsilon E=Q_f/A$ です。孤立したコンデンサーから誘電体を抜くと $Q_f$ は一定なので $D$ は保たれ、$E$ は増加します。電圧源につないだままなら $E$ は一定で、自由電荷が変化します。比較では維持する条件を明示する必要があります。

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