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解析力学

剛体の回転、コマ、オイラー角

傾いた対称コマが鉛直軸まわりに歳差運動する様子を観察し、オイラー角 (φ,θ,ψ)(\varphi, \theta, \psi) の三つの役割――歳差・傾き・自転――を区別します。回転速度を変えて、遅い歳差の関係式 Ωp≈τ/L\Omega_p \approx \tau/L を定性的に確かめます。

発展

器具

  • ドラッグまたは矢印キーで視点を回せる三次元コマのキャンバス
  • 「回転速度」スライダー（rad/s 表示）
  • 瞬間を固定する「一時停止／再開」ボタン
  • 軸先端の赤い軌跡と灰色の鉛直基準軸

手順

  1. 軸と歳差軌道を確認する

    キャンバスをドラッグして視点を回します。コマの青い対称軸は灰色の鉛直軸から傾き、赤い軌跡は軸先端の軌道で、鉛直軸まわりの円です。これは固定された傾き角 θ\theta と一様に増える歳差角 φ\varphi の像です。

  2. 回転速度を変える

    「回転速度」スライダーを0.20～1.20 rad/sの間で動かし、横の値を読みます。自転 ψ\psi が速いほど角運動量 L≈I3ω3L \approx I_3\omega_3 は大きくなります。オイラー角 ψ\psi は姿勢座標であり ω3\omega_3 は回転速度である――両者を混同しないでください。

  3. 瞬間を固定して軸の位置を読む

    「一時停止」を押してコマをある瞬間に固定し、キャンバスを回して軸の鉛直からの傾きと、赤い円上での先端位置を確認します。（時刻, 歳差円上の先端位置）の組を記録し、「再開」で続けます。

  4. 遅い歳差の関係式と比較する

    重力トルクは L\mathbf L に垂直に働き、角運動量の向きを変えて歳差 Ωp≈τ/L\Omega_p \approx \tau/L を生じます。L≈I3ω3L \approx I_3\omega_3 なので、速く回るコマほど歳差は遅くなります。試した二つの回転速度を比べ、定性的予想を述べてください。このモデルは定性図解であり、オイラー方程式の完全解や章動は扱いません。

シミュレーション

実験の歴史

レオンハルト・オイラーは剛体動力学を築きました。『可変軸まわりの剛体の回転運動について』（1765年）と Theoria motus corporum solidorum で、彼の名を冠する角度で剛体の姿勢をパラメータ化し、物体固定軸での慣性モーメント方程式を記述しました。ラグランジュは Mécanique analytique（1788年）で重力場中の対称コマを解き、現在はラグランジュ・コマと呼ばれます。 1852年、レオン・フーコーは高感度の機械式回転子を作り gyroscope と名付けました。その自転軸が慣性空間で向きを保つことを示し、地球自転の検出に使えることを明らかにしました。これは1851年のフーコー振り子を補完するものです。20世紀にはコマは慣性航法の中核となり、現在のレーザージャイロや光ファイバージャイロも角運動量の方向保存という同じ原理に基づいています。

関連する物理学者

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