解析力学

一般化座標と自由度

単振り子で一般化座標とホロノミック拘束を示します。位置を $(x, y)$ の代わりに角度 $\theta$ だけで記述します。 $x = l\sin\theta$ 、 $y = -l\cos\theta$ と自由度 $f = 3N - k$ を確かめます。

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器具

自由度を数える
図1を見ます。長さ $l$ の剛体棒につながれたおもりは支点まわりに回転します。平面上の位置には2座標 $(x, y)$ が要りますが、拘束 $x^2 + y^2 = l^2$ が1つを除き、 $f = 2 - 1 = 1$ 自由度だけ残ります。「角度 θ」スライダーを動かし、1変数で配置全体が決まることを確かめます。
デカルト座標と θ の対応
スライダーの θ と l から $x = l\sin\theta$ 、 $y = -l\cos\theta$ を計算し、図上のおもりの位置と比較します。 $\theta = 90°$ ではおもりは水平になり $x = l$ 、 $y = 0$ 。 $\theta = -90°$ で対称性を確認します。一般化角度は下向き鉛直から測ります。
配位多様体を調べる
図2で θ を $-170°$ から $+170°$ まで動かすと、配位点は円を一周します。配位多様体は円 $S^1$ であり平面ではありません。「長さ l」を変えると円の半径は変わりますが位相構造は同じです。一般化座標は拘束が定める曲がった多様体上を動くと結論づけます。

拘束に適した変数で運動を記述する考えは解析力学の伝統から生まれました。1788年ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュは『解析力学』を出版し、「一般化座標」

q_i

と方程式

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i}

（

L = T - U

）でニュートン力学全体を書き換えました。本には図が一つもなく、すべて代数です。 1834〜35年、ウィリアム・ローワン・ハミルトンは最小作用の原理と、位相空間

(q_i, p_i)

上のハミルトン形式を導入しました。この枠組みは極めて一般的で、後に量子力学がそのまま借用しました。ハミルトンの正準変数は演算子に、ポアソン括弧は交換子になりました。