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解析力学

ハミルトンの正準方程式、位相空間

位相空間で調和振動子を追い、ハミルトン方程式 q˙=∂H/∂p\dot q=\partial H/\partial p、p˙=−∂H/∂q\dot p=-\partial H/\partial q を確かめます。正準せん断 Q=qQ=q、P=p+αqP=p+\alpha q が位相面積を保つ様子も含みます。

大学

器具

  • 振動子軌道を描く位相平面キャンバス $(q,p)$
  • 実線 (q,p) と破線の変換後 (Q,P) を同時描画
  • スライダー「エネルギー E」と一時停止ボタン

手順

  1. 位相軌道を読む

    振動子を動かし、点が (q,p)(q,p) で閉じた輪を描くのを見ます。各点は物理的な位置ではなく状態です。H=p2/2m+12mω2q2H=p^2/2m+\tfrac12m\omega^2q^2 では輪は楕円で、面積 2πE/ω2\pi E/\omega を囲みます。

  2. 流れの向きを確かめる

    輪の上端で一時停止します。q˙=∂H/∂p=p/m\dot q=\partial H/\partial p=p/m が 0 になり、p˙=−∂H/∂q=−mω2q\dot p=-\partial H/\partial q=-m\omega^2q が極値です — 軌道はここで折れ返します。運動が時計回りで、各象限での q˙\dot q と p˙\dot p の符号と整合することを確認します。

  3. 変換後の座標を比較する

    破線 Q=qQ=q、P=p+αqP=p+\alpha q（α=0.7\alpha=0.7）を見ます。楕円はせん断され傾きますが、dQ∧dP=dq∧dp\mathrm dQ\wedge\mathrm dP=\mathrm dq\wedge\mathrm dp なので囲む面積は不変です。これが正準変換 — 同じ力学、新しい座標です。

  4. エネルギーを変える

    エネルギースライダー E を動かし楕円が大きくなるのを見ます。半軸は E\sqrt{E} に比例し面積は線形に増えます。E を 2 倍にした軌道の形を予測して確かめ、位相面積保存がリウヴィルの定理と呼ばれる理由を説明しましょう。

シミュレーション

実験の歴史

ウィリアム・ローワン・ハミルトンは1834–35年、一つの関数 H(q,p)H(q,p) を中心に力学を再定式化し、ラグランジュの二階方程式を対称な一階方程式対 q˙i=∂H/∂pi\dot q_i=\partial H/\partial p_i、p˙i=−∂H/∂qi\dot p_i=-\partial H/\partial q_i に置き換えました。当初は光学のために開発され、主流の力学に入るのは数十年後でした。 位相空間は統計力学に言語を与えました。リウヴィルの定理（1838年）はハミルトン流が体積を保存すると述べ、ギブズのアンサンブルの基礎です。ハミルトン構造は量子理論にも通じます — q と p の交換子は古典的ポアソン括弧 {q,p}=1\{q,p\}=1 を反映します。

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