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古典統計力学

エントロピーと一般化された第二法則

エントロピーの統計的解釈を調べます。温度とモデルパラメータを変え、グラフを S=kBln⁡ΩS = k_B\ln\Omega およびギブスの形 S=−kB∑rprln⁡prS = -k_B\sum_r p_r\ln p_r と比較し、第二法則が確率的な主張であることを確認します。

大学

器具

  • 「温度」スライダー（0.3–3 の規格化単位）
  • 分布モデルの「パラメータ」スライダー
  • 熱力学関係の回転可能な 3D 図
  • S 対 Ω の定量グラフと読み出し

手順

  1. 温度を変えてエントロピーを観察する

    「温度」スライダーを動かし、3D 図と S–Ω グラフを見ます。温度を上げるとアクセス可能な微視状態数 Ω が増え、S=kBln⁡ΩS = k_B\ln\Omega に従ってエントロピーが増大します。図をドラッグして回転させます。

  2. 分布を変えてギブス式と比較する

    「パラメータ」スライダーで微視状態の分布を鋭くしたり平坦にしたりします。Ω 個の状態に一様な分布がエントロピーを最大にすることを確かめます。pr=1/Ωp_r = 1/\Omega を S=−kB∑rprln⁡prS = -k_B\sum_r p_r\ln p_r に代入すると S=kBln⁡ΩS = k_B\ln\Omega に戻ります。

  3. 第二法則と結び付ける

    グラフ上のマクロ状態を選び、孤立系がより大きな Ω の領域へ進む向きを予想します。ΔStot≥0\Delta S_{\text{tot}} \ge 0 の法則を言葉で述べ、少数粒子系では一時的なエントロピー減少の揺らぎがあり得る理由を説明します。

シミュレーション

実験の歴史

1824年、サディ・カルノーは熱機関の限界効率を分析し、第二法則の基礎を築きました。ルドルフ・クラウジウスは1865年に「エントロピー」の語を造り、この状態量で第二法則を言い換えました。最大の孤立系である宇宙のエントロピーは「極大に向かう」のです。ウィリアム・トムソン（ケルヴィン卿）も独立にエネルギー散逸の概念を発展させました。 1877年、ルートヴィッヒ・ボルツマンは統計的基礎を与え、エントロピーは微視状態を数える量 S=kBln⁡WS = k_B\ln W としました。式はウィーンの彼の墓碑に刻まれています。ジョサイア・ウィラード・ギブスは任意の分布へ S=−kB∑rprln⁡prS = -k_B\sum_r p_r\ln p_r と一般化しました。これらの式は、平衡が確率的に圧倒的である理由と、第二法則が小さな揺らぎを許す理由を説明します。

関連する物理学者

ルドルフ・クラウジウスウィリアム・トムソン(ケルヴィン卿)James Prescott Jouleルートヴィッヒ・エドゥアルト・ボルツマンジョサイア・ウィラード・ギブズサディ・カルノー

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