解析力学
対称性とネーターの定理
回転対称性に対するネーターの定理を視覚化します。中心力場 では回転 がラグランジアンを変えないため、角運動量 が保存されます。軌道を観察し、半径が変わっても が一定であることを確かめます。
器具
- 中心力ポテンシャル面上の軌道キャンバス（3D、ドラッグで回転）
- スライダー「Mômen động lượng L」（規格化された Lz の表示）
- 読み取り「Thế V(r)=−1/r … Lz = … không đổi」
- 回転対称性キャンバス：変換 φ → φ + ε を示す円
手順
中心力場の軌道を観察する
セクション1でキャンバスをドラッグして回転し、中心を通る鉛直軸のまわりに対称な面 を観察します。赤い軌道は円ではなく半径は時間とともに変わりますが、読み取りは「Lz = … không đổi」を示します。中心力のトルクがゼロだからです。
角運動量 L を変える
「Mômen động lượng L」スライダーをいくつかの値に動かします。隣の数値は規格化された Lz です。各 L で軌道と読み取りは更新されますが、メッセージは同じです。軌道に沿って Lz が保存される――これは が循環座標のときの という主張です。
対称変換を読み取る
セクション2で、円と赤い点が z 軸まわりの回転を示します。読み取りは「Biến đổi φ → φ + ε không làm L thay đổi」と説明します。キャンバスを回して、中心まわりの回転が方位角だけを変えることを確かめます。ラグランジアンが に依存しないので、ネーターの定理により が保存されます―― の帰結です。
他の対称性へ一般化する
2つの場合を比較します。ポテンシャルが に依存するなら（面に傾いた「丘」があるなど）、回転は対称性ではなくなり は変化します。力にトルクが生じるためです。観察の前に予測します：同じネーターの論理で、時間並進不変性はエネルギー の保存、空間並進不変性は運動量 の保存を与えます。
シミュレーション
実験の歴史
1915年、アインシュタインの一般相対論が発表された直後、ゲッティンゲンの数学者たちは一般共変な重力理論におけるエネルギー保存をめぐって議論していました。ダフィット・ヒルベルトとフェリックス・クラインはエミー・ネーターを迎え、1918年に彼女は論文「不変変分問題」でネーターの定理を発表しました。作用を不変に保つ任意の連続対称性が保存量に対応し、逆に場の理論の微分恒等式を分類することを証明したのです。
根底にある考えは解析力学にすでに存在しました。ラグランジュ（『分析力学』1788年）とその後のハミルトンは、ラグランジアンに現れない座標――循環座標――が保存される共役運動量を与えることを認識していました。ネーターの定理はこれをあらゆる連続対称性へ一般化します。中心力場での回転 の思考実験はまさにその典型例で、 が一定です。