Démontrer la loi de Stefan-Boltzmann en intégrant le spectre de Planck

Étape 1 sur 3 : Le spectre d'énergie de Planck

Intuition

Le rayonnement dans une cavité est comme un « gaz de photons » enfermé dans une boîte : on compte les « places » (modes) à chaque fréquence et on multiplie par l'énergie moyenne par « place » — comme le chiffre d'affaires d'un restaurant : nombre de tables × addition moyenne.

u(\nu, T)\,d\nu = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3}\, \frac{d\nu}{e^{h\nu/k_BT} - 1}

Analyse

Dans une cavité de volume $V$ , le nombre d'états d'onde stationnaire dans $[\nu, \nu+d\nu]$ (2 polarisations comprises) vaut $8\pi V\nu^2 d\nu/c^3$ . Planck attribue à chaque mode l'énergie moyenne $h\nu/(e^{h\nu/k_BT}-1)$ (statistique de Bose–Einstein ; les photons sont des bosons). En multipliant la densité d'états par l'énergie du mode puis en divisant par $V$ , on obtient la densité spectrale d'énergie $u(\nu,T)$ .