Électrodynamique

Magnétostatique et potentiel vecteur

Les courants stationnaires créent un champ magnétique sans divergence ; écrire B = ∇×A assure automatiquement ∇·B = 0。

En magnétostatique, la densité de courant J est indépendante du temps. La loi d’Ampère fixe le rotationnel de B ; le potentiel vecteur A est utile pour les problèmes aux limites et en mécanique quantique。

Interprétation et conséquences

A n’est pas unique : la transformation de jauge A′ = A + ∇χ laisse B inchangé. En électrodynamique, φ et A donnent E = −∇φ − ∂A/∂t。

Le potentiel vecteur dépend de la jauge, mais sa circulation sur un contour fermé est fixée : $\oint A\cdot d\ell=\int B\cdot dS$. C’est le théorème de Stokes appliqué à $B=\nabla\times A$. Dans une boucle, la variation du flux magnétique produit la f.é.m. induite $\mathcal E=-d\Phi_B/dt$ ; le potentiel relie donc la géométrie du champ à l’induction.

En jauge de Coulomb, chaque composante de $A$ vérifie une équation de Poisson. Sa solution intégrale dépend de toute la distribution de courant ; son rotationnel donne ensuite $B$. Une autre jauge peut simplifier une condition aux limites ou une symétrie sans modifier les observables. Pour un courant variable, il faut remplacer cette intégrale instantanée par un potentiel retardé, compatible avec la vitesse finie des signaux.

La solution intégrale du potentiel vecteur est non locale : les courants en tout point source contribuent avec le poids $1/|r-r'|$. Dans un domaine simplement connexe, la jauge de Coulomb choisit un représentant commode, mais les bords et la topologie peuvent laisser une liberté résiduelle. Pour un fil mince, la circulation sur un contour est liée au flux magnétique à travers toute surface qui le tend ; cette surface doit respecter la région des sources et les conditions aux limites.

Vérification rapide