Mécanique analytique

Coordonnées généralisées et degrés de liberté

Illustrez les coordonnées généralisées et les contraintes holonomes avec un pendule simple : décrire la position par le seul angle $\theta$ au lieu de $(x, y)$ . Vérifiez $x = l\sin\theta$ , $y = -l\cos\theta$ et le compte de degrés de liberté $f = 3N - k$ .

Licence

Matériel

Pendule simple virtuel à tige rigide
Curseurs d'angle θ et de longueur l
Affichage de la variété de configuration (cercle de contrainte)

Protocole

Compter les degrés de liberté
Observez la figure 1 : la masse au bout d'une tige rigide de longueur $l$ tourne autour du pivot. Une position plane demande 2 coordonnées $(x, y)$ , mais la contrainte $x^2 + y^2 = l^2$ en retire une — il reste $f = 2 - 1 = 1$ degré de liberté. Faites glisser le curseur « Angle θ » : une seule variable fixe toute la configuration.
Relier coordonnées cartésiennes et θ
Avec θ et l donnés par les curseurs, calculez $x = l\sin\theta$ et $y = -l\cos\theta$ , puis comparez à la position de la masse. Essayez $\theta = 90°$ : la masse est horizontale, $x = l$ , $y = 0$ . Essayez $\theta = -90°$ pour la symétrie — l'angle généralisé se mesure depuis la verticale descendante.
Explorer la variété de configuration
Dans la figure 2, balayez θ de $-170°$ à $+170°$ : le point de configuration décrit un cercle complet — la variété de configuration est le cercle $S^1$ , pas le plan. Modifiez « Longueur l » : le rayon change mais la topologie reste. Conclusion : les coordonnées généralisées vivent sur la variété courbe définie par les contraintes.

Simulation

Histoire de l’expérience

L'idée de décrire le mouvement avec des variables adaptées aux contraintes naît de la mécanique analytique. En 1788, Joseph-Louis Lagrange publia la Mécanique analytique, réécrivant la mécanique de Newton avec des « coordonnées généralisées »

q_i

et les équations

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i}

où

L = T - U

. Le livre se vante de ne contenir aucune figure — de l'algèbre pure. En 1834–35, William Rowan Hamilton introduisit le principe de moindre action puis la forme hamiltonienne des équations du mouvement sur l'espace des phases

(q_i, p_i)

. Ce cadre s'avéra si général que la mécanique quantique l'emprunta directement : les variables canoniques devinrent des opérateurs et les crochets de Poisson des commutateurs.

Physiciens associés

Isaac Newton Joseph-Louis Lagrange

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