Physique statistique classique

Ensembles statistiques : microcanonique et canonique

Étudiez un petit système échangeant de l’énergie avec un thermostat : une fois les contraintes d’isolement levées, les probabilités des microétats suivent Boltzmann $P_r\propto e^{-\beta E_r}$ , $\beta=1/(k_BT)$ , au lieu d’être égales. Faites varier T pour voir la distribution passer d’une limite d’ensemble à l’autre.

Avancé

Matériel

Petit système virtuel immergé dans un thermostat sur canevas 3D
Curseur de température T (normalisée)
Curseur de paramètre du modèle
Graphe quantitatif des probabilités des microétats

Protocole

Observer l’échange d’énergie
Dans la figure 1, réglez T moyen : les particules du petit système échangent constamment de l’énergie avec le bain — condition de l’ensemble canonique (T, V, N fixés), contrairement au microcanonique isolé (E, V, N fixés).
Lire la distribution selon la température
Dans la figure 2, abaissez T : la probabilité s’accumule sur le microétat de plus basse énergie. Montez T : les états hauts se peuplent en $e^{-\beta E}$ ; quand $T\to\infty$ la distribution s’aplanit — tendant vers la limite microcanonique dans la fenêtre d’énergie permise.
Estimer la fonction de partition et prédire
Avec l’affichage normalisé : le poids total $Z=\sum_r e^{-\beta E_r}$ diminue quand T monte car les états hauts comptent davantage. Déplacez le curseur de paramètre pour changer l’espacement, prédisez la pente en log, puis comparez au graphe.

Simulation

Histoire de l’expérience

Josiah Willard Gibbs posa les fondements formels dans Elementary Principles in Statistical Mechanics (1902) : il définit l’ensemble statistique comme une collection conceptuelle de copies d’un même système — microcanonique pour l’isolé, canonique pour celui en contact avec un thermostat — outil de calcul des moyennes macroscopiques, non un objet physique. La vue probabiliste des états le précéda : Ludwig Boltzmann relia dans les années 1870 l’entropie au nombre de microétats

S=k_B\ln W

, et James Clerk Maxwell donna la distribution des vitesses en 1860. L’hypothèse ergodique de Boltzmann — qu’une trajectoire longue échantillonne uniformément la surface d’énergie — fut la première tentative de justifier l’uniformité microcanonique.

Physiciens associés

Rudolf Clausius William Thomson (Lord Kelvin)James Prescott Joule Josiah Willard Gibbs Ludwig Eduard Boltzmann

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