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Mécanique analytique

Équations de Hamilton, espace des phases

Suivez un oscillateur harmonique dans l'espace des phases et vérifiez les équations de Hamilton q˙=∂H/∂p\dot q=\partial H/\partial p, p˙=−∂H/∂q\dot p=-\partial H/\partial q, y compris la façon dont le cisaillement canonique Q=qQ=q, P=p+αqP=p+\alpha q conserve l'aire de phase.

Licence

Matériel

  • Canevas du plan de phase $(q,p)$ montrant l'orbite de l'oscillateur
  • Courbes pleines (q,p) et en pointillés transformées (Q,P) tracées ensemble
  • Curseur « énergie E » et bouton « pause »

Protocole

  1. Lire une orbite de phase

    Laissez l'oscillateur tourner et observez le point tracer une boucle fermée dans (q,p)(q,p). Chaque point est un état, non une position physique ; pour H=p2/2m+12mω2q2H=p^2/2m+\tfrac12m\omega^2q^2 la boucle est une ellipse d'aire 2πE/ω2\pi E/\omega.

  2. Vérifier le sens du flot

    Mettez en pause en haut de la boucle où q˙=∂H/∂p=p/m\dot q=\partial H/\partial p=p/m s'annule et p˙=−∂H/∂q=−mω2q\dot p=-\partial H/\partial q=-m\omega^2q est extrême — l'orbite s'y retourne. Vérifiez le sens horaire et la cohérence des signes de q˙\dot q et p˙\dot p dans chaque quadrant.

  3. Comparer les coordonnées transformées

    Examinez la courbe en pointillés Q=qQ=q, P=p+αqP=p+\alpha q (α=0.7\alpha=0.7) : l'ellipse est cisaillée et inclinée, mais l'aire enclose est inchangée car dQ∧dP=dq∧dp\mathrm dQ\wedge\mathrm dP=\mathrm dq\wedge\mathrm dp. C'est une transformation canonique — même dynamique, nouvelles coordonnées.

  4. Changer l'énergie

    Déplacez le curseur d'énergie E et regardez l'ellipse grandir : ses demi-axes varient en E\sqrt{E} tandis que l'aire croît linéairement. Prédisez la forme de l'orbite à E doublée puis vérifiez — et expliquez pourquoi la conservation de l'aire de phase s'appelle le théorème de Liouville.

Simulation

Histoire de l’expérience

William Rowan Hamilton reformula la mécanique en 1834–35 autour d'une seule fonction H(q,p)H(q,p), remplaçant les équations du second ordre de Lagrange par des paires symétriques du premier ordre q˙i=∂H/∂pi\dot q_i=\partial H/\partial p_i, p˙i=−∂H/∂qi\dot p_i=-\partial H/\partial q_i. D'abord développé pour l'optique, le schéma n'entra dans la mécanique courante que des décennies plus tard. L'espace des phases donna ensuite son langage à la mécanique statistique : le théorème de Liouville (1838) dit que le flot hamiltonien conserve le volume, fondement des ensembles de Gibbs. La structure hamiltonienne sous-tend aussi la théorie quantique — le commutateur de q et p reflète leur crochet de Poisson classique, {q,p}=1\{q,p\}=1.

Physiciens associés

Isaac NewtonJoseph-Louis Lagrange

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