Mécanique analytique

Quantité de mouvement généralisée et hamiltonien

Étudiez l'oscillateur harmonique dans le formalisme hamiltonien : la surface $H(q,p) = p^2/(2m) + m\omega^2 q^2/2$ et les orbites de l'espace des phases. Vérifiez que la courbe de niveau $H = E$ est une ellipse avec $q_{max} = \sqrt{2E/m\omega^2}$ , $p_{max} = \sqrt{2mE}$ .

Licence

Matériel

Canvas « 1. Mặt H(q, p) » : surface d'énergie 3D de l'oscillateur, pivotable par glisser ou flèches
Canvas « 2. Quỹ đạo trên mặt phẳng pha » : ellipse de phase pour un niveau d'énergie
Curseur « Tần số góc ω » (pulsation), 50–200 rad/s
Curseur « Năng lượng E » (énergie), 20–180 J
Affichages « H(q,p)=…, ω=…, E=… » et « qmax = √(2E/mω²) = … ; pmax = √(2mE) = … »

Protocole

Lire le hamiltonien sur la surface d'énergie
Dans la section 1, déplacez « Tần số góc ω » et « Năng lượng E » puis lisez « H(q,p)=p²/(2m)+mω²q²/2 ; m=1 kg, ω=…, E=… ». Faites pivoter la surface : le potentiel $m\omega^2q^2/2$ se raidit avec ω, et les plans H = const la coupent selon des ellipses.
Mesurer les demi-axes de l'ellipse de phase
Passez à la section 2 et lisez « qmax = √(2E/mω²) » et « pmax = √(2mE) ». Vérifiez : à ω = 100 rad/s, E = 80 J (m = 1 kg) il faut $q_{max} = \sqrt{2\cdot80/100^2} = 0.126$ m et $p_{max} = \sqrt{160} = 12.65$ kg·m/s. Comparez avec l'ellipse du canvas et notez.
Vérifier le flot tangent des équations de Hamilton
Observez l'ellipse : en q = qmax, p = 0 et $\dot p = -m\omega^2 q < 0$ donc le point d'état descend ; en p = pmax, $\dot q = p/m > 0$ donc il va vers la droite — l'orbite tourne dans le sens horaire du plan (q, p). Changez ω et E : l'ellipse se redimensionne mais le sens du flot et $H = E$ restent.
Prédire l'effet de ω et E
Prédisez avant de toucher les curseurs : doubler ω divise qmax par deux mais laisse pmax inchangé (il ne dépend que de E) ; augmenter E multiplie les deux demi-axes par $\sqrt{E}$ . L'aire de l'ellipse vaut $A = \pi q_{max}p_{max} = 2\pi E/\omega$ — vérifiez en gardant E, changeant ω : le produit qmax·pmax doit diminuer exactement en 1/ω.

Simulation

Histoire de l’expérience

En 1788, Joseph-Louis Lagrange publia la Mécanique analytique, reformulant la mécanique par les coordonnées généralisées q_i et les moments conjugués p_i = ∂L/∂q̇_i, sans diagrammes de forces. Adrien-Marie Legendre avait déjà introduit (1787) la transformation qui porte son nom et remplace la variable q̇ par p. En 1834–1835, William Rowan Hamilton rédigea deux mémoires « On a General Method in Dynamics », ramenant les équations du second ordre de Lagrange à 2n équations du premier ordre

\dot q_i = \partial H/\partial p_i

\dot p_i = -\partial H/\partial q_i

avec

H = \sum p_i\dot q_i - L

. Quand H ne dépend pas explicitement du temps, il est conservé et égal à l'énergie — c'est exactement la surface de niveau H(q,p) = E affichée par la simulation.

Physiciens associés

Isaac Newton Joseph-Louis Lagrange

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