Symétries et théorème de Noether

Matériel

• Canvas d'orbite sur la surface du potentiel central (3D, glisser pour tourner)
• Curseur « Mômen động lượng L » (lecture normalisée de Lz)
• Affichage « Thế V(r)=−1/r … Lz = … không đổi »
• Canvas de symétrie de rotation : cercle illustrant la transformation φ → φ + ε

Protocole

1. Observer l'orbite dans le potentiel central

   Dans la section 1, glissez sur le canvas pour tourner et observez la surface $V(r) = -1/r$ symétrique autour de l'axe vertical passant par le centre. L'orbite rouge n'est pas circulaire — le rayon varie au cours du temps — mais l'affichage indique « Lz = … không đổi » car une force centrale a un moment nul.

2. Modifier le moment cinétique L

   Déplacez le curseur « Mômen động lượng L » sur plusieurs valeurs ; le nombre adjacent donne le Lz normalisé. Pour chaque L, l'orbite et l'affichage se mettent à jour, mais le message demeure : Lz est conservé le long de l'orbite. C'est l'énoncé $p_\varphi = \text{const}$ lorsque $\varphi$ est une coordonnée cyclique.

3. Lire la transformation de symétrie

   Dans la section 2, le cercle et le point rouge illustrent la rotation autour de l'axe z ; l'affichage explique « Biến đổi φ → φ + ε không làm L thay đổi ». Tournez le canvas pour voir que pivoter autour du centre ne change que l'angle azimutal ; comme le lagrangien ne dépend pas de $\varphi$, le théorème de Noether donne $p_\varphi = L_z$ conservé — conséquence de $\delta L = 0$.

4. Généraliser à d'autres symétries

   Comparez deux cas : si le potentiel dépendait de $\varphi$ (par exemple une « colline » inclinée sur la surface), la rotation ne serait plus une symétrie et $L_z$ varierait — la force exercerait un moment. Prédisez avant d'observer : par la même logique de Noether, l'invariance par translation temporelle donne la conservation de l'énergie $E$, et celle par translation spatiale celle de la quantité de mouvement $\vec P$.

Simulation

Histoire de l’expérience

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