Physic Labs

Vật lý thống kê cổ điển

Tập hợp thống kê: vi chính tắc và chính tắc

Tập hợp thống kê là tập các bản sao giả định của hệ dùng để mô tả xác suất vi trạng thái dưới những ràng buộc vĩ mô xác định.

Tập hợp thống kê là tập các bản sao giả định của hệ dùng để mô tả xác suất vi trạng thái dưới những ràng buộc vĩ mô xác định.

Pr(mc)=1/Ω,Pr(can)=e−βEr/ZP_r^{(mc)}=1/\Omega, \qquad P_r^{(can)}=e^{-\beta E_r}/Z

Định nghĩa: Đại lượng và ý nghĩa

微正準集団固定 E,V,N，在允许的能量窗口内等概率；正準集団固定 T,V,N，与热浴交换能量并有 Boltzmann 权重。β=1/(kBT)，Z=Σᵣe⁻ᵝᴱʳ。系综不是对一个系统在瞬间实际复制，而是便于计算宏观平均的概率模型。

Trao đổi năng lượng với bể nhiệt

Định lượng

⟨A⟩=∑rPrAr\langle A\rangle=\sum_r P_r A_r

Ví dụ: Ví dụ

Hai trạng thái có E₀=0,E₁=2kBT trong tập chính tắc. Tính tỉ số P₁/P₀.

Lời giải

P₁/P₀=e^{−(E₁−E₀)/(kBT)}=e⁻²≈0,135.

Ví dụ: Ví dụ: xác suất năng lượng trong tập chính tắc

Xét hai mức năng lượng 0 và ε có suy biến lần lượt g₀=1, g₁=3. Trong tập chính tắc, xác suất tổng của mức ε còn tính suy biến: P₁/P₀=3e^(−βε). Khi ε=2kBT, tỉ số bằng 3e⁻²≈0,406; sau chuẩn hóa, P₁≈0,289 và P₀≈0,711. Nhiều vi trạng thái ở mức năng lượng cao có thể cạnh tranh với mức thấp hơn. Ludwig Boltzmann là người đặt nền móng cho cách diễn giải xác suất của nhiệt động lực học.

Đại lượng vĩ mô có thể tính bằng trung bình tập hợp, chẳng hạn ⟨E⟩=−∂ln Z/∂β, còn dao động năng lượng thỏa Var(E)=∂²ln Z/∂β²=kBT²C_V. Vì vậy hàm phân hoạch mã hóa cả nhiệt động học cân bằng lẫn đáp ứng trước thay đổi nhiệt độ. Với hệ lớn và tương tác ngắn tầm, tập chính tắc và vi chính tắc thường cho cùng kết quả cho đại lượng cục bộ; khác biệt có thể xuất hiện ở hệ nhỏ, tương tác tầm xa hoặc gần chuyển pha bậc nhất. Tập lớn chính tắc có thể thu được bằng cách chia hệ thành các phần nhỏ trao đổi năng lượng, rồi xem phần còn lại như bể nhiệt. Giới hạn nhiệt động lực học làm các dao động tương đối giảm, giúp giá trị trung bình đại diện tốt cho phép đo. Hàm phân hoạch cũng tạo ra năng lượng tự do Helmholtz, F=−kBT ln Z, nối mô tả xác suất với nhiệt động lực học. Sự tương đương giữa hai tập hợp không đồng nghĩa các vi trạng thái riêng lẻ có cùng xác suất. Việc chọn tập hợp cần khớp với điều kiện thực nghiệm; chúng là mô hình xác suất, không phải các bản sao vật lý.

Trắc nghiệm nhanh

Trong tập chính tắc, đại lượng nào cố định và hệ được phép trao đổi?

Trong tập vi chính tắc, các trạng thái khả dĩ trong cửa sổ năng lượng hẹp được gán xác suất nào?

Tài liệu tham khảo

  1. Charles Kittel and Herbert Kroemer (1980). Thermal Physics
  2. L. D. Landau and E. M. Lifshitz (1980). Statistical Physics