Physic Labs

Vật lý thống kê cổ điển

Entropy và định luật II tổng quát

Entropy thống kê S=kB ln Ω đếm mức độ đa dạng vi trạng thái tương thích với mô tả vĩ mô; định luật II phát biểu entropy toàn phần của hệ cô lập không giảm.

Entropy thống kê S=kB ln Ω đếm mức độ đa dạng vi trạng thái tương thích với mô tả vĩ mô; định luật II phát biểu entropy toàn phần của hệ cô lập không giảm.

S=kBln⁡Ω,ΔStotal≥0S=k_B\ln\Omega, \qquad \Delta S_{\rm total}\ge 0

Định nghĩa: Đại lượng và ý nghĩa

Ω là số vi trạng thái tương thích trong mô hình vi chính tắc. Với phân bố xác suất tổng quát pᵣ, entropy Gibbs là S=−kB Σᵣ pᵣ ln pᵣ. Dạng thống kê giải thích vì sao trạng thái cân bằng có xác suất vĩ mô áp đảo, nhưng định luật II là phát biểu xác suất cho hệ nhiều hạt, không cấm mọi dao động entropy nhỏ trong thời gian hữu hạn.

Entropy từ số vi trạng thái

Định lượng

SGibbs=−kB∑rprln⁡prS_{\rm Gibbs}=-k_B\sum_r p_r\ln p_r

Ví dụ: Ví dụ

Một hệ cô lập có Ω trạng thái tương thích. Nếu Ω tăng từ Ω₁ lên Ω₂=4Ω₁, entropy đổi bao nhiêu?

Lời giải

ΔS=kB ln(Ω₂/Ω₁)=kB ln4.

Ví dụ: Ví dụ: entropy khi trộn khí

Hai phần bằng nhau của cùng một khí lý tưởng, ban đầu ở cùng nhiệt độ và áp suất, được ngăn bằng vách; bỏ vách đi thì không có biến đổi vĩ mô và ΔS=0 vì các hạt không thể phân biệt. Với hai khí khác nhau, quá trình trộn tự do có ΔS_mix=−nR(x₁ln x₁+x₂ln x₂)>0. Nếu x₁=x₂=1/2, entropy tăng 2nR ln2 khi mỗi khí có n mol. Phân biệt hai tình huống tránh đếm giả các hoán vị của hạt đồng nhất.

Định luật II cũng gắn entropy với thông tin về trạng thái vi mô: khi biết hệ ở một vi trạng thái cụ thể, độ bất định thấp; khi chỉ biết phân bố pᵣ, entropy Gibbs đo mức thiếu thông tin đó. Với hai hệ A và B độc lập, entropy cộng được, S_AB=S_A+S_B; nếu có tương quan thì cần tính entropy chung và không thể cộng máy móc. Trong hệ cô lập, tiến hóa vi mô đảo thời gian vẫn bảo toàn thông tin, còn chiều tăng entropy vĩ mô xuất hiện do ta mô tả thô và bỏ qua tương quan chi tiết. Do số vi trạng thái cân bằng áp đảo theo cấp số mũ khi số hạt lớn, quan sát thấy entropy giảm mạnh trở nên cực kỳ hiếm dù vẫn không bị cấm tuyệt đối. Đối với quá trình thuận nghịch, entropy toàn phần không đổi; sự tăng nghiêm ngặt đặc trưng cho quá trình bất thuận nghịch. Khi chỉ xét một phần của hệ, entropy phần đó có thể giảm nếu môi trường nhận đủ entropy bù lại. Vì thế ranh giới hệ phải được xác định rõ.

Trắc nghiệm nhanh

Theo S=kB ln Ω, nếu Ω tăng gấp đôi thì entropy đổi thế nào?

Định luật II cho hệ cô lập phát biểu điều gì?

Tài liệu tham khảo

  1. Charles Kittel and Herbert Kroemer (1980). Thermal Physics
  2. L. D. Landau and E. M. Lifshitz (1980). Statistical Physics