Vật lý vật chất ngưng tụ

Thống kê Fermi–Dirac

Phân bố Fermi–Dirac mô tả xác suất chiếm trạng thái của fermion ở cân bằng, có xét nguyên lý loại trừ Pauli. Tại không độ tuyệt đối, các trạng thái được lấp đầy đến năng lượng Fermi; ở nhiệt độ hữu hạn, biên chiếm bị làm mờ.

Fermion như electron, proton và neutron tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli: mỗi trạng thái lượng tử đơn hạt chỉ chứa tối đa một fermion cho mỗi trạng thái spin. Vì vậy, xác suất chiếm của từng trạng thái tuân theo phân bố Fermi–Dirac.

Mặt Fermi và vật chất suy biến

Ở kim loại, electron dẫn tạo nên tập trạng thái lấp đầy tới mức Fermi. Chỉ electron trong vùng năng lượng cỡ kBT quanh μ dễ được kích thích, nên nhiều tính chất nhiệt và điện tử phụ thuộc vào cấu trúc gần mặt Fermi.

Nhiệt độ Fermi T_F=E_F/kB thường lớn hơn nhiều nhiệt độ thường của kim loại, nên electron dẫn là khí lượng tử suy biến. Xấp xỉ cổ điển Maxwell–Boltzmann không phù hợp khi chiếm chỗ lượng tử quan trọng.

Trắc nghiệm nhanh

Ở nhiệt độ thấp, khai triển Sommerfeld cho phép tính gần đúng các đại lượng nhiệt. Với hàm trơn g(ε), tích phân trạng thái chiếm gần bằng phần đã lấp ở T=0 cộng hiệu chỉnh π²(kBT)²g′(μ)/6. Vì vậy chỉ electron trong khoảng cỡ kBT quanh mức Fermi có thể đổi trạng thái nhiệt; trong kim loại thông thường nhiệt dung electron tỉ lệ với T. Xấp xỉ cần mật độ trạng thái biến thiên chậm trên thang năng lượng kBT.

Có thể thấy mức chiếm xấp xỉ hàm bước khi kBT nhỏ so với EF: các mức dưới μ gần đầy, phía trên gần rỗng. Khi tăng nhiệt độ, ranh giới chỉ bị làm mờ trong một lớp năng lượng hẹp; tổng số hạt vẫn cố định nên μ(T) dịch nhẹ. Trong phép tính thực nghiệm, cần tích phân g(ε)f(ε), không chỉ đọc f tại một năng lượng. Đây là lý do tính chất nhiệt của electron kim loại nhỏ hơn dự đoán cổ điển rất nhiều.