Vật lý thống kê cổ điển

Định lý phân bố đều năng lượng

Trong cân bằng cổ điển, mỗi bậc tự do xuất hiện dưới dạng bậc hai trong Hamiltonian đóng góp trung bình kBT/2 vào năng lượng.

\left\langle x\frac{\partial H}{\partial x}\right\rangle=k_B T, \quad H_x=ax^2\Rightarrow\langle H_x\rangle=\frac12k_BT

Định nghĩa: Đại lượng và ý nghĩa

Kết quả áp dụng cho biến liên tục phân bố cổ điển cân bằng và hạng năng lượng bậc hai độc lập; ví dụ mỗi thành phần động lượng p²/(2m) góp kBT/2. Dao động tử điều hòa cổ điển có một hạng động năng và một hạng thế năng, tổng kBT. Hiệu chỉnh lượng tử ở nhiệt độ thấp làm các mode bị “đóng băng”, vì vậy không thể ngoại suy định lý cổ điển cho mọi nhiệt độ.

Đóng góp của các bậc tự do

Định lượng

\langle E_{\rm translation}\rangle=\frac32k_BT, \quad \langle E_{\rm oscillator}\rangle=k_BT

Ví dụ: Ví dụ

Một khí lý tưởng đơn nguyên tử có 3 bậc tự do tịnh tiến. Năng lượng động học trung bình mỗi hạt theo định lý là bao nhiêu?

Lời giải

Ba thành phần động lượng bậc hai đóng góp 3(kBT/2)=3kBT/2.

Ví dụ: Ví dụ: nhiệt dung mol của khí đơn nguyên tử

Một mol khí lý tưởng đơn nguyên tử có ba hạng động năng tịnh tiến bậc hai. Định lý phân bố đều cho U=3RT/2, nên C_V=(∂U/∂T)_V=3R/2≈12,5 J·mol⁻¹·K⁻¹. Kết quả này giả định khí cổ điển loãng; ở nhiệt độ đủ thấp, các mức chuyển động lượng tử rời rạc không được kích thích đầy đủ và nhiệt dung giảm so với dự đoán cổ điển. Ludwig Boltzmann đã góp phần đặt nền tảng thống kê cho kết quả cổ điển này.

Cơ sở của định lý là tích phân cân bằng: với một tọa độ x có hạng năng lượng ax², trọng số Boltzmann tỉ lệ e^(−βax²), và phép lấy trung bình cho ⟨ax²⟩=1/(2β)=kBT/2. Mỗi tọa độ độc lập có dạng toàn phương đóng góp như vậy; các ràng buộc hoặc hạng không bậc hai làm kết quả thay đổi. Chẳng hạn thế năng x⁴ không được tính như một bậc tự do bậc hai và không nhận đúng kBT/2. Khi mô hình có f bậc tự do bậc hai độc lập, năng lượng nội trung bình là f kBT/2 và nhiệt dung cổ điển tương ứng fR/2 trên mỗi mol. Công thức này hữu ích để kiểm tra giới hạn nhiệt độ cao của mô hình dao động tử. Định lý mất hiệu lực khi các mức năng lượng rời rạc quan trọng hoặc hệ chưa đạt cân bằng nhiệt. Các đóng góp lượng tử chuyển dần vào khi nhiệt độ tăng. Vì thế định lý lý giải định luật Dulong–Petit trong miền nhiệt độ cao, nhưng cần cơ học lượng tử để mô tả sự suy giảm ở nhiệt độ thấp.

Trắc nghiệm nhanh

Một hạng năng lượng độc lập dạng bậc hai đóng góp trung bình bao nhiêu ở cân bằng cổ điển?

Một dao động tử điều hòa cổ điển có hai hạng bậc hai độc lập. Năng lượng trung bình tổng cộng là bao nhiêu?

Tài liệu tham khảo

Charles Kittel and Herbert Kroemer (1980). Thermal Physics
L. D. Landau and E. M. Lifshitz (1980). Statistical Physics