Vật lý thống kê cổ điển

Phân bố Maxwell–Boltzmann

Trong khí lý tưởng cổ điển ở cân bằng, phân bố Maxwell–Boltzmann cho biết xác suất vận tốc phân tử và phân bố tốc độ có trọng số mật độ trạng thái.

f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2}v^2e^{-mv^2/(2k_B T)}

Định nghĩa: Đại lượng và ý nghĩa

Phân bố vectơ vận tốc trong không gian ba chiều là Gaussian theo từng thành phần; nhân với diện tích vỏ cầu 4πv² cho phân bố tốc độ f(v). Tốc độ có xác suất cực đại v_mp=√(2kBT/m), tốc độ trung bình √(8kBT/πm), và căn phương bình phương √(3kBT/m). Cần khí loãng, cân bằng nhiệt và giới hạn cổ điển.

Phân bố tốc độ và nhiệt độ

Định lượng

v_{\rm mp}=\sqrt{2k_BT/m}, \quad v_{\rm rms}=\sqrt{3k_BT/m}

Ví dụ: Ví dụ

Ở cùng nhiệt độ, thay phân tử có khối lượng m bằng loại có khối lượng 4m. Tốc độ căn phương bình phương đổi ra sao?

Lời giải

v_rms=√(3kBT/m) nên tăng khối lượng gấp bốn làm tốc độ giảm còn một nửa.

Ví dụ: Ví dụ: ước lượng tốc độ phân tử nitơ

Ở T=300 K, lấy khối lượng một phân tử N₂ là m≈4,65×10⁻²⁶ kg. Tốc độ có xác suất cực đại là v_mp=√(2kBT/m)≈422 m·s⁻¹, còn v_rms=√(3kBT/m)≈517 m·s⁻¹. Các giá trị khác nhau vì phân bố tốc độ lệch phải: đuôi tốc độ lớn kéo tốc độ căn phương bình phương lên trên tốc độ có xác suất cực đại. Ludwig Boltzmann góp phần phát triển cách nhìn thống kê về khí ở trạng thái cân bằng.

Phân bố vector vận tốc là xác suất trên không gian ba chiều, còn f(v)dv là xác suất tốc độ nằm trong khoảng [v,v+dv]. Hệ số v² làm mật độ tốc độ bằng không tại v=0 dù phân bố mỗi thành phần vận tốc lớn nhất ở thành phần bằng không. Tăng nhiệt độ làm đường phân bố rộng hơn và dịch đỉnh sang tốc độ cao; đổi sang phân tử nặng hơn ở cùng T làm đỉnh dịch về thấp. Phân bố này áp dụng trong cân bằng cổ điển, không mô tả hiệu ứng suy biến lượng tử. Vì f(v) được chuẩn hóa, diện tích dưới đường cong từ 0 đến vô cùng bằng 1; số phân tử trong khoảng tốc độ hẹp xấp xỉ Nf(v)dv. Tốc độ trung bình và tốc độ có xác suất cực đại là các thống kê khác nhau, không thể thay thế cho nhau. Đo vận tốc của nhiều phân tử sẽ tái tạo dạng phân bố dù quỹ đạo riêng lẻ luôn biến đổi do va chạm. Thống kê vận tốc cho phép suy ra áp suất và truyền nhiệt từ chuyển động phân tử. Đây là nền tảng của thuyết động học.

Trắc nghiệm nhanh

Ở cùng T, nếu khối lượng phân tử tăng gấp bốn, tốc độ căn phương bình phương biến đổi thế nào?

Phân bố tốc độ Maxwell chứa thừa số nào do mật độ trạng thái trong không gian vận tốc 3D?

Tài liệu tham khảo

Charles Kittel and Herbert Kroemer (1980). Thermal Physics
L. D. Landau and E. M. Lifshitz (1980). Statistical Physics