Cơ học lượng tử

Phương trình Schrödinger

Phương trình cơ bản mô tả sự tiến triển theo thời gian của hàm sóng lượng tử — nền tảng của toàn bộ cơ học lượng tử.

Phương trình Schrödinger là phương trình cơ bản của cơ học lượng tử, đóng vai trò tương tự như định luật II Newton trong cơ học cổ điển: nó cho biết hàm sóng $\psi$ của một hệ lượng tử biến đổi theo thời gian như thế nào.

i\hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} + V(x)\psi(x,t)

Vế trái mô tả sự biến thiên theo thời gian của hàm sóng. Vế phải là toán tử Hamilton $\hat{H}$ tác dụng lên $\psi$ , gồm số hạng động năng (đạo hàm bậc hai theo vị trí — càng 'gồ ghề' thì động năng càng lớn) và số hạng thế năng $V(x)$ . Đây là phương trình phụ thuộc thời gian; khi hệ ở trạng thái dừng (năng lượng xác định $E$ ), ta có phiên bản không phụ thuộc thời gian đơn giản hơn: $\hat H \psi = E\psi$ .

Định nghĩa: Hàm sóng và diễn giải xác suất

Hàm sóng $\psi(x,t)$ là một số phức tại mỗi điểm không gian, không trực tiếp quan sát được. Điều đo được là $|\psi(x,t)|^2$ — mật độ xác suất tìm thấy hạt tại vị trí $x$ vào thời điểm $t$ (diễn giải Born, 1926). Vì là xác suất, $\psi$ phải thỏa điều kiện chuẩn hóa $\int |\psi|^2\,dx = 1$ .

Đây là lời giải số thật của phương trình ở trên (phương pháp tách toán tử Fourier), không phải hoạt hình minh họa. Thử mục 'Đường hầm qua rào thế' để thấy hiệu ứng chỉ cơ học lượng tử mới có.

Hiệu ứng đường hầm: khi hạt vượt qua nơi cổ điển cấm

Xét một hạt có năng lượng $E$ bay tới một rào thế có độ cao $V_0 > E$ . Theo cơ học cổ điển, hạt chắc chắn bị bật ngược lại — nó không đủ năng lượng để 'trèo qua' rào. Nhưng nghiệm của phương trình Schrödinger cho thấy hàm sóng không triệt tiêu đột ngột bên trong rào, mà suy giảm theo hàm mũ, nên vẫn có một phần nhỏ 'rò' sang được phía bên kia — hạt xuất hiện ở phía sau rào với xác suất khác 0, dù chưa từng có đủ năng lượng để 'vượt qua đỉnh'.

Hiệu ứng đường hầm không phải là hư cấu: nó giải thích sự phân rã alpha của hạt nhân phóng xạ, là nguyên lý hoạt động của kính hiển vi quét chui hầm (STM), và là nguồn gốc dòng rò trong các transistor cực nhỏ.

Ví dụ: Vì sao vật vĩ mô không thể hiện hiệu ứng đường hầm

Tại sao ta không bao giờ thấy một quả bóng lăn 'xuyên hầm' qua một bức tường trong đời sống hàng ngày, nếu hiệu ứng đường hầm là có thật?

Lời giải

Xác suất xuyên hầm giảm theo hàm mũ với khối lượng hạt và bề dày rào. Với một quả bóng (khối lượng ~ $10^{23}$ lần khối lượng electron), xác suất này nhỏ tới mức thực tế bằng 0 — phải chờ một thời gian dài hơn tuổi vũ trụ rất nhiều lần mới mong quan sát được một lần. Hiệu ứng chỉ đáng kể với các hạt có khối lượng cỡ electron hoặc proton.

Với Hamiltonian không phụ thuộc thời gian, nghiệm tách biến có dạng $\psi_n(\mathbf r,t)=\phi_n(\mathbf r)e^{-iE_nt/\hbar}$ . Mật độ xác suất $|\psi_n|^2$ đứng yên dù pha của hàm sóng biến đổi; chồng chập các trạng thái riêng thường tạo mật độ phụ thuộc thời gian. Toán tử Hamiltonian quyết định phổ và trạng thái riêng thỏa điều kiện biên của bài toán. Khi thế phụ thuộc thời gian, phép tách biến này nói chung không còn đúng, nhưng phương trình tiến hóa vẫn xác định sự biến đổi đơn nhất của trạng thái.

Trắc nghiệm nhanh

Đại lượng $|\psi(x,t)|^2$ trong cơ học lượng tử biểu diễn:

Hiệu ứng đường hầm lượng tử cho phép hạt:

Tài liệu tham khảo

Erwin Schrödinger (1926). Quantisierung als Eigenwertproblem
David J. Griffiths (2018). Introduction to Quantum Mechanics