Physic Labs

Cơ học lượng tử

Hàm sóng và diễn giải xác suất

Hàm sóng ψ mã hóa biên độ xác suất; |ψ|² là mật độ xác suất vị trí, được chuẩn hóa để tổng xác suất bằng một.

Trong cơ học lượng tử, trạng thái thuần của một hạt được mô tả bằng hàm sóng phức ψ(r,t)\psi(\mathbf r,t). Hàm sóng không phải quỹ đạo hay mật độ vật chất; nó cho phép tính xác suất của các kết quả đo.

ρ(r,t)=∣ψ(r,t)∣2,P(Ω,t)=∫Ω∣ψ(r,t)∣2 d3r\rho(\mathbf r,t)=|\psi(\mathbf r,t)|^2,\qquad P(\Omega,t)=\int_{\Omega}|\psi(\mathbf r,t)|^2\,d^3r

Định nghĩa: Mật độ xác suất Born

∣ψ∣2|\psi|^2 là xác suất trên một đơn vị thể tích. Xác suất tìm hạt trong miền Ω\Omega là tích phân của mật độ trên miền đó; trong hệ SI, ∣ψ∣2|\psi|^2 có đơn vị m−3^{-3}.

Quan sát ∣ψ∣2|\psi|^2 của chồng chập hai trạng thái hộp thế. Đổi độ lệch năng lượng để thấy hình dạng mật độ dao động, trong khi chuẩn hóa được giữ nguyên.

Chuẩn hóa và phép đo

∫R3∣ψ(r,t)∣2 d3r=1\int_{\mathbb R^3}|\psi(\mathbf r,t)|^2\,d^3r=1

Với hạt bị giam trong một chiều, xác suất tìm thấy nó từ aa đến bb là P=∫ab∣ψ(x,t)∣2dxP=\int_a^b|\psi(x,t)|^2dx. Mật độ thay đổi theo thời gian, nhưng với tiến hóa đơn vị của hệ kín, tích phân trên toàn không gian vẫn bằng 1.

Ví dụ: Xác suất trong nửa hộp

Hạt ở trạng thái cơ bản của hộp vô hạn 0<x<L0<x<L có ψ1=2/Lsin⁡(πx/L)\psi_1=\sqrt{2/L}\sin(\pi x/L). Xác suất tìm hạt trong nửa trái hộp là bao nhiêu?

Lời giải

P=∫0L/2(2/L)sin⁡2(πx/L)dx=1/2P=\int_0^{L/2}(2/L)\sin^2(\pi x/L)dx=1/2. Đối xứng của ∣ψ1∣2|\psi_1|^2 quanh L/2L/2 cho cùng kết quả.

Trong thí nghiệm đo vị trí, xác suất tìm hạt trong miền [a,b][a,b] là P=∫ab∣ψ(x,t)∣2 dxP=\int_a^b |\psi(x,t)|^2\,dx. Nếu trạng thái đã chuẩn hóa trên toàn trục thì tích phân trên toàn không gian bằng một; xác suất của các miền rời nhau cộng được. Biên độ phức có thể giao thoa trước khi lấy bình phương: với hai đường không phân biệt được, ∣ψ1+ψ2∣2|\psi_1+\psi_2|^2 chứa số hạng chéo, còn cộng xác suất riêng thì không. Vì vậy phép đo không chỉ lấy mẫu một phân bố cổ điển có sẵn; việc chọn đại lượng đo quyết định các khả năng và phân bố kết quả.

Trắc nghiệm nhanh

Đại lượng nào cho mật độ xác suất tìm hạt tại vị trí r\mathbf r?

Chuẩn hóa một hàm sóng trên toàn không gian yêu cầu điều gì?

Tài liệu tham khảo

  1. David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics