Physic Labs

Cơ học lượng tử

Nguyên tử Hydro: mức năng lượng và obitan

Thế Coulomb cho phổ năng lượng hydro phụ thuộc số lượng tử chính nn; các obitan ∣ψnlm∣2|\psi_{nlm}|^2 mô tả mật độ xác suất, không phải quỹ đạo hành tinh.

Hydro là bài toán Coulomb chính xác đầu tiên của cơ học lượng tử. Giải phương trình Schrödinger tách biến trong tọa độ cầu cho các trạng thái được đánh số bằng n,l,mln,l,m_l. Phổ đơn giản của hydro giải thích các vạch quang phổ và làm nền tảng cho cấu trúc nguyên tử.

En=−13.6 eVn2,n=1,2,...;l=0,...,n−1,ml=−l,...,lE_n=-\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^2},\quad n=1,2,...;\qquad l=0,...,n-1,\quad m_l=-l,...,l

Định nghĩa: Số lượng tử

Số chính nn xác định năng lượng và kích thước đặc trưng. Số quỹ đạo ll xác định mômen động lượng L2=l(l+1)ℏ2L^2=l(l+1)\hbar^2; số từ mlm_l cho hình chiếu Lz=mlℏL_z=m_l\hbar. Với mỗi nn, có n2n^2 trạng thái không kể spin trong mô hình hydro không tương đối tính.

Chọn trạng thái 1s1s, 2s2s hoặc 2p2p để xem mô hình mật độ ∣ψnlm∣2|\psi_{nlm}|^2 trong không gian và nút xác suất; các đám mây表示概率而非运动轨迹.

Vạch phổ và chuyển mức

Trong mô hình Coulomb không tương đối tính, năng lượng chỉ phụ thuộc nn nên nhiều trạng thái có cùng năng lượng. Khi nguyên tử hấp thụ hoặc phát photon, năng lượng photon bằng độ chênh hai mức: hν=∣Ef−Ei∣h\nu=|E_f-E_i|. Cấu trúc tinh vi và hiệu ứng ngoài phá vỡ một phần suy biến lý tưởng.

Ví dụ: Photon chuyển mức

Electron chuyển từ n=3n=3 về n=2n=2. Tính năng lượng photon phát ra.

Lời giải

E2=−13.6/4=−3.40E_2=-13.6/4=-3.40 eV; E3=−13.6/9=−1.51E_3=-13.6/9=-1.51 eV. Phát xạ có Eγ=E3−E2=1.89E_\gamma=E_3-E_2=1.89 eV.

Thế Coulomb có đối xứng cầu nên bài toán tách thành phần xuyên tâm và góc. Với trạng thái không tương đối tính, năng lượng phụ thuộc số lượng tử chính nn nhưng suy biến theo l,ml,m; các số này lần lượt mô tả kích thước năng lượng và mômen động lượng quỹ đạo. Bán kính Bohr a0=4πϵ0ℏ2/(mee2)a_0=4\pi\epsilon_0\hbar^2/(m_e e^2) đặt thang kích thước, và mức liên kết là En=−13.6 eV/n2E_n=-13.6\,\text{eV}/n^2. Phổ vạch xuất hiện khi photon thỏa hν=Ei−Efh\nu=E_i-E_f. Cấu trúc tinh tế và hiệu chỉnh QED làm tách các mức mà mô hình Coulomb cơ bản xem là suy biến.

Trắc nghiệm nhanh

Trong mô hình hydro không tương đối tính, năng lượng phụ thuộc trực tiếp vào số lượng tử nào?

Obitan nguyên tử biểu diễn điều gì?

Tài liệu tham khảo

  1. David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics