Physic Labs

Cơ học lượng tử

Nguyên lý bất định Heisenberg

Độ phân tán vị trí và động lượng của một trạng thái không thể đồng thời nhỏ tùy ý: ΔxΔp ≥ ℏ/2.

Nguyên lý bất định là giới hạn cấu trúc của trạng thái lượng tử, không phải lỗi thiết bị đo hay sự vụng về của người quan sát. Nó phát biểu về độ phân tán thống kê của nhiều phép đo trên các hệ được chuẩn bị như nhau.

Δx Δpx≥ℏ2,ΔA ΔB≥12∣⟨[A,B]⟩∣\Delta x\,\Delta p_x\geq\frac{\hbar}{2},\qquad \Delta A\,\Delta B\geq\frac12\left|\langle[A,B]\rangle\right|

Định nghĩa: Độ lệch chuẩn

Với đại lượng AA, độ bất định là độ lệch chuẩn ΔA=⟨A2⟩−⟨A⟩2\Delta A=\sqrt{\langle A^2\rangle-\langle A\rangle^2}. Dạng tổng quát dùng giao hoán tử [A,B]=AB−BA[A,B]=AB-BA. Với [x,px]=iℏ[x,p_x]=i\hbar, ta thu được bất đẳng thức vị trí–động lượng.

Điều chỉnh độ rộng gói Gauss: vị trí càng hẹp thì phân bố số sóng/động lượng càng rộng, phù hợp bất đẳng thức ΔxΔp ≥ ℏ/2.

Nguồn gốc toán học

Đối với mọi hai observables, quan hệ tổng quát là ΔAΔB≥∣⟨[A,B]⟩∣/2\Delta A\Delta B\geq |\langle[A,B]\rangle|/2. Các toán tử giao hoán thì không có giới hạn dưới dương từ công thức này; vị trí và động lượng không giao hoán nên luôn có giới hạn. Trạng thái Gauss tối thiểu đạt dấu bằng trong quan hệ x,px,p.

Ví dụ: Bước sóng và động lượng

Một gói electron có Δx=0.10\Delta x=0.10 nm. Tìm giới hạn nhỏ nhất của Δpx\Delta p_x.

Lời giải

Δpx≥ℏ/(2Δx)=1.055×10−34/(2.0×10−10)=5.28×10−25\Delta p_x\geq\hbar/(2\Delta x)=1.055\times10^{-34}/(2.0\times10^{-10})=5.28\times10^{-25} kg·m/s.

Xét gói sóng Gaussian có độ rộng chuẩn vị trí σx\sigma_x. Biến đổi Fourier cho biết độ rộng động lượng tăng khi gói bị nén, và trạng thái Gaussian đạt dấu bằng ΔxΔp=ℏ/2\Delta x\Delta p=\hbar/2. Gói dịch chuyển có thể có giá trị trung bình ⟨x⟩\langle x\rangle và ⟨p⟩\langle p\rangle bất kỳ mà không đổi tích độ lệch chuẩn. Đây là đặc tính của trạng thái, không phải sai số của thiết bị. Tổng quát, với các toán tử A,BA,B, bất đẳng thức Robertson là ΔAΔB≥∣⟨[A,B]⟩∣/2\Delta A\Delta B\ge |\langle[A,B]\rangle|/2.

Trắc nghiệm nhanh

Giới hạn dưới chuẩn cho tích độ bất định vị trí–động lượng là gì?

Tăng định xứ vị trí của gói sóng thường làm độ phân tán động lượng thế nào?

Tài liệu tham khảo

  1. David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics