Cơ học giải tích

Phương trình Hamilton, không gian pha

Hamilton mô tả động lực học bằng các cặp tọa độ–động lượng chính tắc; quỹ đạo trong không gian pha tuân theo các phương trình vi phân bậc nhất.

Với mỗi bậc tự do, trạng thái được biểu diễn bởi (q,p). Hàm Hamilton H(q,p,t) sinh ra chuyển động qua các phương trình chính tắc.

Dao động tử điều hòa

Với H=p²/(2m)+mω²q²/2 không phụ thuộc t tường minh, năng lượng H được bảo toàn. Quỹ đạo mức năng lượng là ellipse trong mặt phẳng (q,p); dấu của p xác định chiều chuyển động qua mỗi điểm.

Tọa độ chính tắc và biến đổi chính tắc

Một phép đổi biến $(q,p)\mapsto(Q,P)$ là chính tắc nếu bảo toàn cấu trúc symplectic, nhờ đó phương trình Hamilton giữ nguyên dạng trong biến mới. Ví dụ phép shear $Q=q,\ P=p+\alpha q$ có định thức Jacobian bằng 1 và là chính tắc. Nó làm biến dạng đường pha nhưng bảo toàn diện tích có hướng.

Trắc nghiệm nhanh

Với hai hàm trên không gian pha, ngoặc Poisson được định nghĩa $\{F,G\}=\sum_i(\partial F/\partial q_i\,\partial G/\partial p_i-\partial F/\partial p_i\,\partial G/\partial q_i)$. Dọc theo một quỹ đạo Hamilton, $dF/dt=\partial F/\partial t+\{F,H\}$. Vì vậy một đại lượng không phụ thuộc tường minh thời gian là hằng số chuyển động nếu ngoặc Poisson của nó với $H$ bằng không. Cấu trúc này cũng cho thấy vì sao biến đổi chính tắc giữ nguyên hình thức phương trình và là nền tảng cho lượng tử hóa.

Với dao động tử $H=p^2/(2m)+m\omega^2q^2/2$, ta có $\dot q=p/m$ và $\dot p=-m\omega^2q$. Loại $p$ thu được $\ddot q+\omega^2q=0$. Hai phương trình bậc nhất mô tả cùng chuyển động như phương trình bậc hai Lagrange, nhưng làm rõ cấu trúc trạng thái trong không gian pha.