Cơ học giải tích

Phương trình Euler–Lagrange

Các phương trình Euler–Lagrange suy ra chuyển động từ hàm Lagrange và áp dụng cho từng tọa độ suy rộng.

Một hệ có thể được mô tả bằng tọa độ phù hợp với ràng buộc thay vì mọi tọa độ Descartes. Phương trình Euler–Lagrange cho biết các tọa độ ấy tiến hóa thế nào khi tác dụng dừng.

Ví dụ: con lắc đơn

Lấy $q=\theta$, động năng là $T=\tfrac12 ml^2\dot\theta^2$ và thế năng chọn mốc ở vị trí thấp nhất là $V=mgl(1-\cos\theta)$. Thay $L=T-V$ vào phương trình cho ta dao động phi tuyến; chỉ với góc nhỏ mới dùng gần đúng $\sin\theta\simeq\theta$.

Trắc nghiệm nhanh

Nếu $L$ không phụ thuộc tường minh vào một tọa độ $q_j$, tọa độ đó là tọa độ cyclic và phương trình Euler–Lagrange cho $d p_j/dt=0$, với $p_j=\partial L/\partial\dot q_j$. Đây là cách nhanh để khai thác đối xứng trước khi giải phương trình chuyển động. Chẳng hạn, trong thế xuyên tâm, góc phương vị không xuất hiện tường minh trong Lagrange nên mômen động lượng liên hợp được bảo toàn. Việc đổi biến tọa độ hợp lệ không làm mất nội dung vật lý, nhưng phải biến đổi cả vận tốc và Lagrange nhất quán.

Trong một chiều, với $L=\tfrac12m\dot x^2-V(x)$, phương trình trở thành $m\ddot x=-dV/dx$, đúng với định luật II Newton. Sự tương đương này là phép kiểm tra hữu ích: phương pháp Lagrange không thay đổi dự đoán, mà tổ chức chúng hiệu quả hơn khi có nhiều tọa độ và ràng buộc.