Cơ học giải tích

Định lý Liouville

Dòng Hamilton bảo toàn thể tích trong không gian pha. Với hệ khả tích có n bậc tự do, các mặt mức thông thường được tổ chức thành các torus bất biến n chiều.

Phương trình Hamilton có dạng dòng không nén trong không gian pha. Trong miền chính tắc, thể tích pha của một đám trạng thái không đổi theo thời gian.

\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla_{(q,p)}\!\cdot(\rho\,\dot z)=0, \qquad \nabla_{(q,p)}\!\cdot\dot z=0

Định nghĩa: Bảo toàn thể tích pha

Với $z=(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_n)$ , Hamilton vector field là $\dot q_i=\partial H/\partial p_i$ , $\dot p_i=-\partial H/\partial q_i$ . Phân kỳ của trường này triệt tiêu từng cặp hỗn hợp, nên Jacobian của dòng thời gian bằng 1 và thể tích pha được bảo toàn. Đây là phát biểu của định lý Liouville cho cơ học Hamilton; không đồng nghĩa mật độ mọi phân bố luôn đồng nhất.

Quỹ đạo quấn trên torus bất biến của hệ khả tích hai bậc tự do; đổi tỉ lệ tần số để thấy quỹ đạo đóng hoặc phủ dần torus.

Liên hệ với tính khả tích

Định lý Liouville về thể tích đúng với dòng Hamilton nói chung. Định lý Liouville–Arnold bổ sung kết quả cấu trúc: nếu hệ tự trị có n tích phân độc lập đôi một giao hoán và miền mức compact, chính quy, chuyển động nằm trên torus n chiều; trong tọa độ góc–tác dụng, các góc tiến hóa tuyến tính theo thời gian.

Ví dụ: Ví dụ

Một hệ 2 bậc tự do khả tích có thể chuyển động trên mặt nào trong không gian pha 4 chiều khi các tích phân cố định độc lập và miền mức compact?

Lời giải

Đáp án đúng: một torus 2 chiều. Theo định lý Liouville–Arnold, khi hệ khả tích có $n$ bậc tự do và miền mức $\{F_1=c_1,\dots,F_n=c_n\}$ compact, chính quy thì miền đó liên thông và là torus $n$ chiều $T^n$ — ở đây $n=2$ nên quỹ đạo nằm trên $T^2$ , không phải mặt cầu hay đường thẳng.

Trắc nghiệm nhanh

Trong tọa độ chính tắc, độ phân kỳ của trường vận tốc pha là $\sum_i(\partial\dot q_i/\partial q_i+\partial\dot p_i/\partial p_i)=\sum_i(\partial^2H/\partial q_i\partial p_i-\partial^2H/\partial p_i\partial q_i)=0$ . Do định lý Gauss, một thể tích pha nhỏ được dòng Hamilton vận chuyển vẫn giữ nguyên thể tích. Điều đó không có nghĩa mỗi quỹ đạo đứng yên hay phân bố luôn đồng đều: mật độ xác suất có thể biến dạng, nhưng được vận chuyển theo dòng sao cho thể tích pha được bảo toàn. Kết quả này là nền tảng của cơ học thống kê cân bằng và định lý Liouville cho mật độ pha.

Với hệ khả tích có hai bậc tự do và miền mức chính quy compact, định lý Liouville–Arnold dự đoán quỹ đạo nằm trên mặt nào?

Trong một hệ tự trị, đại lượng nào được bảo toàn dọc theo chuyển động Hamilton?

Tài liệu tham khảo

Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko (2002). Classical Mechanics
L. D. Landau, E. M. Lifshitz (1976). Mechanics