Cơ học giải tích

Chuyển động trong trường xuyên tâm, bài toán Kepler

Bài toán Kepler mô tả chuyển động dưới thế hấp dẫn nghịch đảo bình phương. Tính đối xứng giúp rút bài toán về phương trình xuyên tâm và phân loại quỹ đạo thành ellipse, parabol hoặc hyperbol.

Trong thế xuyên tâm V(r)=−κ/r, mômen động lượng được bảo toàn. Quỹ đạo nằm trong một mặt phẳng và được quyết định bởi năng lượng E cùng mômen động lượng L.

E=\frac{p_r^2}{2\mu}+\frac{L^2}{2\mu r^2}-\frac{\kappa}{r}, \qquad r(\phi)=\frac{p}{1+e\cos\phi}

Định nghĩa: Thế hiệu dụng và quỹ đạo

Khối lượng giảm μ chuyển động với mômen động lượng L. Thế hiệu dụng $V_{eff}=L^2/(2μr^2)-κ/r$ kết hợp hàng rào ly tâm và hấp dẫn. Với $E<0$ , quỹ đạo Kepler bị liên kết là ellipse; $E=0$ là parabol thoát biên; $E>0$ là hyperbol. Các kết luận giả sử lực Newton hai vật và không có nhiễu loạn đáng kể.

Điều chỉnh độ lệch tâm và góc thật để so sánh quỹ đạo ellipse, parabol và hyperbol trong mặt phẳng quỹ đạo. Mặt cong bên dưới biểu diễn mặt tác dụng chính tắc S(q,t) dạng Hamilton–Jacobi trong ví dụ Kepler hóa đơn giản.

Từ Hamilton–Jacobi đến các quỹ đạo

Phương trình Hamilton–Jacobi $∂S/∂t+H(q,∂S/∂q,t)=0$ tìm hàm tác dụng chính tắc. Trong trường Kepler tĩnh, tách biến theo tọa độ cực cho phép dùng hằng số năng lượng và mômen động lượng; đạo hàm của S theo các hằng số cho nghiệm chuyển động. Mô phỏng mặt S chỉ minh họa hình dạng của một nghiệm đã giản lược, không phải mọi quỹ đạo Kepler đều có chung một mặt S.

Ví dụ: Ví dụ

Với chuyển động liên kết trong thế Kepler, quỹ đạo là ellipse có độ lệch tâm e=0,6. Biết bán trục lớn a=10⁷ m và tiêu điểm đặt tại gốc. Tính khoảng cách cận điểm và viễn điểm.

Lời giải

Với ellipse Kepler, r_min=a(1−e), r_max=a(1+e). Do đó r_min=4×10⁶ m và r_max=1,6×10⁷ m. Tổng hai khoảng cách là 2a, phù hợp với hình học ellipse.

Trắc nghiệm nhanh

Trong tọa độ cực, thế hiệu dụng là $V_{\rm eff}(r)=L^2/(2\mu r^2)-\kappa/r$ . Số hạng ly tâm tạo hàng rào khi $r\to0$ , còn lực hấp dẫn giữ hạt; cực tiểu của thế hiệu dụng cho quỹ đạo tròn với $r_0=L^2/(\mu\kappa)$ . Với năng lượng liên kết $E<0$ , quỹ đạo là ellipse và bán trục lớn $a=-\kappa/(2E)$ . Với $E=0$ hoặc $E>0$ , quỹ đạo lần lượt là parabol hoặc hyperbol. Các biểu thức này dùng khối lượng giảm $\mu$ cho bài toán hai vật và khối lượng trung tâm cố định là trường hợp giới hạn.

Với thế V(r)=−κ/r, một trạng thái có năng lượng toàn phần E<0 tương ứng với loại quỹ đạo nào?

Trong một hệ tự trị, đại lượng nào được bảo toàn dọc theo chuyển động Hamilton?

Tài liệu tham khảo

Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko (2002). Classical Mechanics
L. D. Landau, E. M. Lifshitz (1976). Mechanics