Cơ học giải tích

Động lượng suy rộng, hàm Hamilton

Động lượng suy rộng p_i = ∂L/∂q̇_i là biến liên hợp của tọa độ q_i; phép biến đổi Legendre đưa Lagrange sang hàm Hamilton H.

Trong cơ học Lagrange, vị trí và vận tốc là biến tự nhiên. Cơ học Hamilton thay vận tốc bằng động lượng suy rộng và mô tả trạng thái bằng điểm trong không gian pha $(q,p)$. Đây là lựa chọn đặc biệt hữu ích khi nghiên cứu cấu trúc của chuyển động.

Biến đổi Legendre

Nếu có thể giải $p_i=\partial L/\partial\dot q_i$ để biểu diễn $\dot q_i$ theo $(q,p,t)$, ta thay các vận tốc đó vào $H=\sum_i p_i\dot q_i-L$. Điều kiện khả nghịch cục bộ là ma trận Hessian $\partial^2L/\partial\dot q_i\partial\dot q_j$ không suy biến. Hệ ràng buộc hoặc suy biến đòi hỏi xử lý riêng.

Với dao động tử điều hòa, $p=m\dot q$; thay $\dot q=p/m$ cho Hamiltonian trên. Các đường mức $H=E$ là ellipse trên mặt phẳng pha $(q,p)$; chuyển động tuần hoàn chạy dọc ellipse.

Trắc nghiệm nhanh

Phép biến đổi Legendre chỉ khả nghịch khi ma trận $W_{ij}=\partial^2L/(\partial\dot q_i\partial\dot q_j)$ không suy biến. Khi đó có thể giải vận tốc theo $(q,p,t)$ và xây dựng Hamiltonian trên không gian pha; nếu $W$ suy biến, hệ có ràng buộc chính tắc và cần xử lý riêng. Một ví dụ quan trọng là hạt tích điện trong thế vectơ: $L=\tfrac12m\dot{\mathbf r}^{2}+e\mathbf A\cdot\dot{\mathbf r}-e\phi$ cho $\mathbf p=m\dot{\mathbf r}+e\mathbf A$, không chỉ là động lượng cơ học $m\dot{\mathbf r}$.