Cơ học giải tích

Vật rắn quay, con quay, góc Euler

Hướng của vật rắn tự do có ba bậc tự do quay. Góc Euler là một bộ tọa độ suy rộng để mô tả hướng; mômen động lượng trong hệ vật thể và hệ không gian nói chung khác hướng nhau.

Quay quanh trục chính đơn giản nhưng chuyển động tổng quát cần theo dõi cả hướng trục của vật rắn. Phép quay Euler ZXZ phân rã hướng thành ba phép quay liên tiếp.

T = \frac12(I_1\omega_1^2+I_2\omega_2^2+I_3\omega_3^2), \qquad \mathbf L_{body}=\mathrm{diag}(I_1,I_2,I_3)\boldsymbol\omega_{body}

Định nghĩa: Góc Euler và trục quán tính

Trong quy ước ZXZ, ba góc $(φ,θ,ψ)$ lần lượt quay quanh trục z không gian, trục x′ của hệ trung gian, rồi trục z″ gắn với vật. Các góc là tọa độ, không phải thành phần vận tốc góc. Năng lượng quay được viết gọn trong hệ trục chính với mômen quán tính $I_1,I_2,I_3$ và thành phần vận tốc góc trong hệ vật thể.

Mô hình là một con quay đối xứng có trục thân nghiêng; đường vẽ cho thấy trục quay tiến động quanh phương thẳng đứng. Kéo để xoay góc nhìn, thay tốc độ quay và góc nghiêng.

Con quay và tiến động

Với một con quay đối xứng nhanh, mômen động lượng gần song song với trục đối xứng. Mômen lực trọng trường làm đổi hướng mômen động lượng, tạo tiến động; xấp xỉ tiến động chậm có tốc độ $Ω_p≈τ/L$ khi mômen lực vuông góc với L. Công thức này không mô tả đầy đủ mọi chuyển động lắc (nutation).

Ví dụ: Ví dụ

Một con quay có mômen lực trọng trường τ=0,020 N·m và mômen động lượng L=0,40 kg·m²/s. Ước tính tốc độ tiến động chậm.

Lời giải

Dùng $Ω_p≈τ/L$ : $Ω_p≈0,020/0,40=0,050$ rad/s. Đây là xấp xỉ chậm, với trục gần thẳng đứng và mômen động lượng chủ yếu do spin; nó không dự đoán chính xác dao động nutation.

Trắc nghiệm nhanh

Trong hệ trục gắn với vật rắn, các phương trình Euler là $I_1\dot\omega_1+(I_3-I_2)\omega_2\omega_3=\tau_1$ và hai phương trình hoán vị vòng quanh. Khi mômen ngoài bằng không, quay đều quanh trục chính có mômen quán tính lớn nhất hoặc nhỏ nhất ổn định trước nhiễu nhỏ; quay quanh trục trung gian không ổn định. Con quay quay nhanh chịu mômen lực vuông góc với mômen động lượng nên vectơ $\mathbf L$ đổi hướng chậm, tạo tiền tiến. Mô tả bằng góc Euler vẫn phải xử lý các cấu hình kỳ dị của bộ góc, không phải kỳ dị vật lý của vật rắn.

Ở trạng thái quay ổn định quanh trục chính $3$ , $\omega_3$ không đổi và hai phương trình ngang mô tả nhiễu nhỏ. Nghiệm ổn định phụ thuộc dấu của tích $(I_3-I_1)(I_3-I_2)$ : trục có mômen quán tính lớn nhất hoặc nhỏ nhất cho dao động bị chặn, còn trục trung gian dẫn đến nhiễu tăng. Đây là cơ sở của hiệu ứng lật vợt.

Trong l’approximation của con quay đối xứng quay nhanh, mômen lực τ vuông góc với L tạo tốc độ tiến động gần bằng:

Trong một hệ tự trị, đại lượng nào được bảo toàn dọc theo chuyển động Hamilton?

Tài liệu tham khảo

Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko (2002). Classical Mechanics
L. D. Landau, E. M. Lifshitz (1976). Mechanics