Cơ học giải tích

Đối xứng và định lý Noether

Mỗi đối xứng liên tục của tác dụng dẫn đến một định luật bảo toàn; bất biến tịnh tiến thời gian gắn với năng lượng, tịnh tiến không gian gắn với động lượng.

Định lý Noether nối hai ý tưởng tưởng như riêng biệt: đối xứng của các định luật và đại lượng bảo toàn. Nếu mô tả vật lý không đổi dưới một biến đổi liên tục, phương trình chuyển động hàm ý một dòng Noether không đổi theo thời gian.

\delta L=\frac{dF}{dt} \quad\Longrightarrow\quad Q=\sum_i p_i\,\delta q_i-F=\text{constant}

Định nghĩa: Đối xứng liên tục và dòng Noether

Biến đổi liên tục $q_i\to q_i+\epsilon\Delta q_i$ là đối xứng của tác dụng nếu Lagrange biến thiên nhiều nhất bởi một đạo hàm toàn phần $dF/dt$ . Khi đó $Q=\sum_i p_i\Delta q_i-F$ được bảo toàn trên nghiệm, với $p_i=\partial L/\partial\dot q_i$ . Trường hợp $F=0$ cho dạng đơn giản quen thuộc.

Xoay trục tọa độ quanh tâm thế xuyên tâm: hình học không đổi và mômen động lượng L được bảo toàn.

Các đối xứng quen thuộc

Đối xứng liên tục	Đại lượng bảo toàn
Tịnh tiến thời gian	Năng lượng
Tịnh tiến không gian	Động lượng tuyến tính
Quay không gian	Mômen động lượng

Với hạt trong thế xuyên tâm $V(r)$ , phép quay quanh tâm không đổi $L=\tfrac12m\dot{\mathbf r}^{2}-V(r)$ . Đối xứng quay quanh trục $z$ tạo ra bảo toàn thành phần $L_z$ ; trong thế xuyên tâm toàn bộ vectơ mômen động lượng được bảo toàn.

Ví dụ: Từ góc cyclic đến mômen động lượng

Một hạt khối lượng $m$ chuyển động trong mặt phẳng dưới thế $V(r)$ . Chứng minh mômen động lượng quanh trục vuông góc mặt phẳng được bảo toàn.

Lời giải

$L=\tfrac12m(\dot r^2+r^2\dot\phi^2)-V(r)$ không phụ thuộc tường minh vào $\phi$ . Vì vậy $p_\phi=\partial L/\partial\dot\phi=mr^2\dot\phi=L_z$ là hằng số theo Euler–Lagrange.

Trắc nghiệm nhanh

Dạng tổng quát của lập luận là xét biến đổi liên tục $q_i\mapsto q_i+\epsilon\Delta q_i$ làm Lagrange thay đổi nhiều nhất bởi đạo hàm toàn phần $\epsilon\,dF/dt$ . Trên nghiệm của phương trình chuyển động, tổ hợp $Q=\sum_i p_i\Delta q_i-F$ có đạo hàm theo thời gian bằng không. Nếu đối xứng không làm đổi tọa độ thời gian và $F=0$ , đây là $Q=\sum_i p_i\Delta q_i$ . Đối xứng có thể tác động đồng thời lên tọa độ và thời gian; khi đó số hạng năng lượng cũng tham gia, nên phải dùng dạng mở rộng của định lý.

Định luật bảo toàn không chỉ xuất hiện khi Lagrange bất biến tuyệt đối. Nếu nó đổi bởi đạo hàm toàn phần, tác dụng chỉ đổi ở biên; với biến thiên có hai đầu mút cố định, phương trình chuyển động vẫn giữ nguyên. Đây là lý do định lý Noether bao quát nhiều đối xứng biểu kiến khác nhau.

Đối xứng tịnh tiến thời gian gắn với đại lượng bảo toàn nào?

Trong thế xuyên tâm, đối xứng quay quanh tâm dẫn đến bảo toàn đại lượng nào?

Tài liệu tham khảo

Cornelius Lanczos (1970). The Variational Principles of Mechanics