Cơ học giải tích

Nguyên lý tác dụng tối thiểu Hamilton

Quỹ đạo vật lý làm cho tác dụng S = ∫L dt dừng trước các biến thiên nhỏ giữ cố định hai đầu mút.

Trong cơ học Newton, ta thường hỏi gia tốc do lực nào gây ra. Cơ học giải tích đặt câu hỏi khác: trong mọi đường đi khả dĩ nối cùng hai trạng thái đầu-cuối, đường nào làm một đại lượng tích lũy theo thời gian dừng lại? Đại lượng ấy là tác dụng.

S[q]=\int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot q,t)\,dt, \qquad \delta S=0

Định nghĩa: Tác dụng và tính dừng

$L=T-V$ là hàm Lagrange (động năng trừ thế năng) trong hệ bảo toàn thích hợp. Tác dụng $S$ có đơn vị J·s. Điều kiện $\delta S=0$ nói biến thiên bậc nhất bằng không, không khẳng định $S$ luôn đạt cực tiểu: quỹ đạo có thể là cực tiểu, cực đại hoặc điểm yên ngựa.

Kéo điểm giữa đường đi để thay đổi quỹ đạo. Đồ thị so sánh tác dụng của đường thử với quỹ đạo dừng nối cùng hai đầu mút.

Từ nguyên lý đến phương trình chuyển động

Biến thiên quỹ đạo $q(t)\to q(t)+\delta q(t)$ với $\delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0$ . Tích phân từng phần số hạng chứa $\delta\dot q$ cho phép đưa đạo hàm khỏi biến thiên.

\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right)\delta q\,dt=0

Vì $\delta q(t)$ tùy ý bên trong khoảng thời gian, hệ số của nó phải triệt tiêu; ta thu được phương trình Euler–Lagrange. Với $L=\tfrac12m\dot x^2-V(x)$ , phương trình trở thành $m\ddot x=-dV/dx$ , đúng với định luật II Newton.

Ví dụ: Hạt tự do

Một hạt khối lượng $m$ đi từ $x=0$ đến $x=2$ m trong $2$ s, không chịu lực. Tìm quỹ đạo cổ điển.

Lời giải

Với $V=0$ , Euler–Lagrange cho $m\ddot x=0$ . Tốc độ không đổi nên $x(t)=t$ m với $t$ tính bằng giây.

Trắc nghiệm nhanh

Ý nghĩa của điều kiện dừng hiện rõ khi biến thiên quỹ đạo $q(t)\mapsto q(t)+\epsilon\eta(t)$ với $\eta(t_1)=\eta(t_2)=0$ . Khai triển đến bậc nhất rồi tích phân từng phần cho $\delta S=\int_{t_1}^{t_2}[\partial L/\partial q-d(\partial L/\partial\dot q)/dt]\eta(t)\,dt$ . Vì $\eta$ tùy ý bên trong khoảng thời gian, hệ số trong ngoặc phải bằng không: nguyên lý tác dụng dừng dẫn đến phương trình Euler–Lagrange. Hai đầu mút cố định là thiết yếu; nếu chúng được tự do biến thiên, điều kiện biên tự nhiên bổ sung cũng phải được xét.

Điều kiện biến phân của quỹ đạo cổ điển là gì?

Trong $S=\int Ldt$ , đơn vị của tác dụng là gì?

Tài liệu tham khảo

Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko (2002). Classical Mechanics