Cơ học giải tích

Tọa độ suy rộng, bậc tự do

Tọa độ suy rộng mô tả cấu hình hệ sau khi đã tính đến các ràng buộc; số tọa độ độc lập là số bậc tự do.

Để mô tả con lắc đơn, không cần ba tọa độ Descartes độc lập: dây không dãn và điểm treo cố định buộc vật chuyển động trên một cung tròn. Chỉ cần góc lệch $\theta$. Chọn tọa độ đúng giúp ràng buộc được thỏa mãn ngay trong cách mô tả.

Ràng buộc holonomic

Ràng buộc holonomic biểu diễn bằng phương trình giữa tọa độ và có thể cả thời gian, chẳng hạn $x^2+y^2=l^2$ cho con lắc phẳng. Hai tọa độ Descartes bị ràng buộc bởi một phương trình nên còn một tọa độ độc lập. Ràng buộc vận tốc không tích phân được nói chung là không holonomic.

Thay $x,y$ bằng một góc tự động thỏa mãn chiều dài dây cố định. Trong hệ nhiều vật, tọa độ suy rộng cũng có thể là góc khớp, khoảng cách hoặc biến tập thể. Chúng không nhất thiết là tọa độ hình học có đơn vị mét.

Trắc nghiệm nhanh

Có thể xem các cấu hình khả dĩ như những điểm trên một đa tạp cấu hình. Nếu các ràng buộc holonomic là $f_a(\mathbf x,t)=0$, ma trận Jacobi $\partial f_a/\partial x_i$ cho biết các ràng buộc độc lập tại cấu hình đang xét; hạng của nó quyết định số chiều địa phương của đa tạp. Với ràng buộc phụ thuộc thời gian, tập cấu hình khả dĩ còn chuyển động theo thời gian, nên vận tốc cho phép phải thỏa $\sum_i(\partial f_a/\partial x_i)\dot x_i+\partial f_a/\partial t=0$. Góc, độ dài cung và tọa độ Descartes đều hợp lệ nếu chúng xác định cấu hình độc lập.

Một hệ có hai hạt tự do trong không gian có sáu tọa độ; nếu khoảng cách giữa chúng cố định và không có ràng buộc khác thì còn năm bậc tự do. Chọn tọa độ khối tâm cùng hai góc và ba tọa độ tương đối phù hợp sẽ làm ràng buộc hiển thị rõ hơn.