Thuyết tương đối

Hình học vi phân và độ cong không-thời gian

Mêtric mã hóa khoảng cách và thời gian riêng; tensor Riemann mô tả độ cong không-thời gian.

ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu

Định nghĩa: Đại lượng cốt lõi

Mêtric và tensor trường là các đại lượng hình học được xác định bằng tọa độ nhưng các dự đoán vật lý phải bất biến. Công thức chính: $ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ .

Kéo để xoay góc nhìn, điều chỉnh tham số để quan sát hình học và chuyển động.

Cách đọc phương trình

Mêtric mã hóa khoảng cách và thời gian riêng; tensor Riemann mô tả độ cong không-thời gian.

Ví dụ: Giới hạn và diễn giải

Xét trường yếu, vận tốc nhỏ và vùng xa nguồn. Kết quả tương đối rộng phải tiến gần mô tả Newton thích hợp; gần chân trời hay trong trường mạnh không thể dùng xấp xỉ này.

Lời giải

Đây là nguyên lý tương ứng: lý thuyết mới tái tạo chính xác các kiểm nghiệm của lý thuyết cũ trong miền áp dụng của nó.

Ví dụ: Đo cong bằng lệch địa trắc

Trong một miền nhỏ, hai hạt thử rơi tự do ban đầu gần song song có vectơ tách $\xi^\mu$ . Phương trình lệch địa trắc $D^2\xi^\mu/D\tau^2=-R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}u^\nu\xi^\alpha u^\beta$ cho biết gia tốc tương đối phụ thuộc tensor Riemann, không phụ thuộc cách chọn tọa độ.

Lời giải

Nếu $R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}=0$ trên miền xét thì các vectơ tách được vận chuyển song song và không có gia tốc thủy triều nội tại. Ngược lại, đo gia tốc tương đối của chùm hạt cho phép khảo sát thành phần độ cong; đây là nội dung vật lý của độ cong.

Trong tọa độ tổng quát, ký hiệu Christoffel $\Gamma^\rho_{\mu\nu}$ mô tả cách cơ sở thay đổi nhưng không phải tensor: có thể làm chúng triệt tiêu tại một điểm bằng hệ tọa độ thích hợp. Tensor Riemann, cấu tạo từ đạo hàm của $\Gamma$ và các tích $\Gamma\Gamma$ , không thể bị xóa nếu độ cong thực sự khác không. Co Riemann cho tensor Ricci và vô hướng độ cong; tensor Einstein $G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\tfrac12Rg_{\mu\nu}$ có phân kỳ hiệp biến bằng không. Cấu trúc này phân biệt hiệu ứng tọa độ với nội dung hình học đo được.

Vận chuyển song song một vector quanh vòng kín có thể làm hướng của nó đổi khác; độ quay tích lũy phụ thuộc độ cong bao trong vòng. Trên đa tạp phẳng, kết quả không phụ thuộc đường đi, còn trên đa tạp cong nó đo holonomy. Phép đo này cho thấy độ cong là đặc tính của metric và cấu trúc liên kết cục bộ, không phải nếp gấp trong một không gian ngoại tại.

Trắc nghiệm nhanh

Trong nội dung này, biểu thức chính mô tả điều gì?

Đâu là cách diễn giải phù hợp nhất?

Tài liệu tham khảo

Sean Carroll (2019). Spacetime and Geometry
Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitation