Thuyết tương đối

Nguyên lý tương đương

Trong một miền đủ nhỏ, hiệu ứng của trọng trường đều không thể phân biệt với gia tốc của hệ quy chiếu; nguyên lý này là điểm khởi đầu của thuyết tương đối rộng.

Hãy tưởng tượng bạn ở trong một thang máy kín. Nếu thang máy đứng yên trên Trái Đất, bạn cảm thấy sàn đỡ mình; nếu nó tăng tốc trong không gian trống, sàn cũng đẩy bạn tương tự. Trong phạm vi nhỏ, hai tình huống cho kết quả cơ học giống nhau.

a_{\text{grav}} \leftrightarrow a_{\text{frame}}

Định nghĩa: Phát biểu cục bộ

Nguyên lý tương đương Einstein phát biểu rằng trong một phòng thí nghiệm rơi tự do đủ nhỏ, các định luật vật lý không hấp dẫn có dạng của thuyết tương đối hẹp. Từ “cục bộ” quan trọng: trường hấp dẫn không đều gây hiệu ứng thủy triều mà phép đổi hệ quy chiếu không thể xóa trên một vùng hữu hạn.

So sánh quỹ đạo trong hệ có gia tốc với chuyển động gần một khối lượng. Tăng kích thước vùng quan sát để thấy hiệu ứng triều không biến mất.

Từ lực đến hình học

Một quan sát viên đứng yên trong trường hấp dẫn có gia tốc riêng, còn người rơi tự do lý tưởng không cảm thấy trọng lượng. Trong thuyết tương đối rộng, vật rơi tự do đi theo đường trắc địa của không-thời gian cong; hiệu ứng thủy triều phản ánh độ cong chứ không phải một lực đồng nhất có thể triệt tiêu.

Ví dụ: Thang máy tăng tốc

Một thang máy trong không gian trống tăng tốc lên trên với $a=9{,}8,\mathrm{m/s^2}$ . Một vật được thả ra tương đối với cabin. Gia tốc tương đối của vật so với cabin hướng nào và độ lớn bao nhiêu?

Lời giải

Trong hệ quán tính của không gian trống, vật không chịu lực nên không gia tốc; cabin gia tốc lên. Vì vậy vật gia tốc tương đối xuống với độ lớn $9{,}8\,\mathrm{m/s^2}$ , giống gia tốc rơi trong trường hấp dẫn tương đương.

Ví dụ: Đo gia tốc thủy triều

Trong trường hấp dẫn Newton, gia tốc gần một khối lượng cầu là $g(r)=GM/r^2$ . Hai khối thử cách nhau $L\ll r$ theo phương bán kính ở khoảng cách $r$ từ tâm. Ước tính độ chênh gia tốc để thấy vì sao một phòng thí nghiệm rơi tự do hữu hạn không thể triệt tiêu mọi hiệu ứng hấp dẫn.

Lời giải

Khai triển đến bậc nhất: $\Delta g\simeq (dg/dr)L=-2GM L/r^3$ . Độ lớn $2GM L/r^3$ là gia tốc triều theo phương bán kính; rơi tự do loại bỏ gia tốc chung tại tâm nhưng không loại bỏ gradient trường.

Trắc nghiệm nhanh

Trong một thí nghiệm đủ nhỏ, trọng trường đều và gia tốc của cabin có thể phân biệt bằng phép đo cơ học không?

Vì sao phát biểu tương đương chỉ đúng cục bộ?

Tài liệu tham khảo

Albert Einstein (1953). The Meaning of Relativity
Sean Carroll (2019). Spacetime and Geometry