Thuyết tương đối

Phương trình trường Einstein

Phương trình trường Einstein liên hệ độ cong không-thời gian với năng lượng, động lượng và ứng suất của vật chất.

G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}

Định nghĩa: Đại lượng cốt lõi

Mêtric và tensor trường là các đại lượng hình học được xác định bằng tọa độ nhưng các dự đoán vật lý phải bất biến. Công thức chính: $G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$ .

Kéo để xoay góc nhìn, điều chỉnh tham số để quan sát hình học và chuyển động.

Cách đọc phương trình

Phương trình trường Einstein liên hệ độ cong không-thời gian với năng lượng, động lượng và ứng suất của vật chất.

Ví dụ: Giới hạn và diễn giải

Xét trường yếu, vận tốc nhỏ và vùng xa nguồn. Kết quả tương đối rộng phải tiến gần mô tả Newton thích hợp; gần chân trời hay trong trường mạnh không thể dùng xấp xỉ này.

Lời giải

Đây là nguyên lý tương ứng: lý thuyết mới tái tạo chính xác các kiểm nghiệm của lý thuyết cũ trong miền áp dụng của nó.

Ví dụ: Kiểm tra bảo toàn năng lượng-động lượng

Tensor Einstein thỏa đồng nhất thức Bianchi co rút $\nabla_\mu G^{\mu\nu}=0$ . Áp dụng đạo hàm hiệp biến cho phương trình trường đầy đủ và dùng $\nabla_\mu g^{\mu\nu}=0$ . Điều kiện nào được áp đặt lên tensor năng lượng-động lượng $T^{\mu\nu}$ ?

Lời giải

Với hằng số vũ trụ học không đổi, vế trái có phân kỳ bằng không, nên $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ . Đây là phương trình liên tục hiệp biến: vật chất không tự ý mất năng lượng-động lượng; hình học và nguồn phải nhất quán.

Phương trình là mười phương trình vi phân phi tuyến liên hệ metric với nguồn, kèm các đồng nhất thức Bianchi bảo đảm tính nhất quán. Trong miền chân không với $\Lambda=0$ , ta có $T_{\mu\nu}=0$ và phương trình rút gọn $R_{\mu\nu}=0$ , nhưng tensor Riemann vẫn có thể khác không: trường hấp dẫn lan truyền hoặc trường ngoài khối lượng vẫn có độ cong. Không tồn tại mật độ năng lượng hấp dẫn địa phương dạng tensor bất biến như $T_{\mu\nu}$ ; năng lượng của trường thường được xác định qua đại lượng biên hoặc quan sát tiệm cận. Điều này khiến bài toán điều kiện đầu và khái niệm năng lượng toàn cục tinh tế hơn cơ học Newton.

Tìm nghiệm đòi hỏi chọn điều kiện biên hoặc dữ liệu ban đầu cùng một gauge; nhiều thành phần metric không phải bậc tự do vật lý độc lập. Giới hạn trường yếu quanh metric phẳng cho phương trình Poisson $\nabla^2\Phi=4\pi G\rho$ , giải thích cách hấp dẫn Newton xuất hiện. Tuy nhiên, nghiệm toàn cục còn có thể có chân trời, kỳ dị hoặc cấu trúc sóng mà xấp xỉ tuyến tính không nắm bắt.

Trắc nghiệm nhanh

Trong nội dung này, biểu thức chính mô tả điều gì?

Đâu là cách diễn giải phù hợp nhất?

Tài liệu tham khảo

Sean Carroll (2019). Spacetime and Geometry
Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitation