光は、合計時間が最小になるように界面上の折れ曲がり点 x を「選ぶ」と考えられます。ライフガードが砂浜を走ってから斜めに泳ぐのと同じで、走る方が泳ぐより速いので、最適経路は直線にはなりません。
T(x)=v1a2+x2+v2b2+(d−x)2
解析
光線が媒質 1 内の点 A から媒質 2 内の点 B へ進み、界面を位置 x で横切るとします。A, B から界面までの垂直距離を a, b、界面に沿った射影距離を d とします。ピタゴラスの定理により、2 つの区間の長さは a2+x2 と b2+(d−x)2。それぞれの媒質での速さ v1, v2 で割って足し合わせると、合計時間 T(x) が得られます。