物性物理学

結晶構造と逆格子

結晶はブラベー格子上でモチーフが周期的に繰り返され、逆格子は波数空間の周期性を表します。

結晶はブラベー格子上でモチーフが周期的に繰り返され、逆格子は波数空間の周期性を表します。

物理モデル

基本並進ベクトルと各格子点の原子モチーフを選びます。異なる単位胞でも同じ結晶を表せます。

逆格子は aᵢ·bⱼ=2πδᵢⱼ を満たします。弾性回折では逆格子ベクトルだけ運動量が移り、ブラッグの法則は面間隔による等価な表現です。

クイックチェック

フーリエ変換により実空間の周期性は逆空間の離散ピークになります。散乱ベクトル q に対する回折条件は q=G（逆格子ベクトル）で、強度は原子モチーフの構造因子にも依存します。そのため同じブラベー格子でも基底が異なれば回折パターンは変わります。X線や中性子回折から面間隔、対称性、原子位置を推定できます。

格子定数 a,b,c の直交格子では、(hkl)面の間隔は dₕₖₗ=1/√[(h/a)²+(k/b)²+(l/c)²] です。立方晶では dₕₖₗ=a/√(h²+k²+l²) に簡約されます。ブラッグ則 λ=2d sinθ と組み合わせれば回折角から格子定数を求められます。ただし構造因子により消滅する反射があり、すべての指数組にピークが現れるわけではありません。

ミラー指数 (hkl) は逆格子基底における面法線の整数座標で、実空間の点座標ではありません。結晶対称性は等価な面をまとめ、空間群で分類されます。構造因子と消滅則から格子型を識別できます。