物性物理学

自由電子気体とフェルミ準位

自由電子気体を調べます。k 空間の球状フェルミ面を見て $k_F = (3\pi^2 n)^{1/3}$ と $E_F \propto n^{2/3}$ を確かめ、フェルミ・ディラック分布の $E_F$ 周りの熱的広がり $\sim k_BT$ を観察します。

発展

器具

密度を変えてフェルミ半径を測る
「密度／周波数」を上げると、占有状態が増え k 空間のフェルミ球が膨らみます。半径を $k_F = (3\pi^2 n)^{1/3}$ 、端のエネルギーを $E_F = \hbar^2k_F^2/2m \propto n^{2/3}$ と比べます。「一時停止」で占有状態数を読みます。
温度を掃引してフェルミ端のぼやけを見る
低温では占有分布はほぼ階段状です。ε < E_F は満、ε > E_F は空です。「温度」を上げると $E_F$ 周り幅 $\sim k_BT$ の帯だけがぼやけます。球内部の電子は近くに空状態がないため励起できません（パウリ原理）。
状態数を変えて帰結を導く
「状態数」を動かして状態密度の変化を見て、n と組み合わせて電子熱容量を予想します。フェルミ面近くの $\sim T/T_F$ の電子だけが寄与し $C_V \propto T$ ——古典値 $3k_B/2$ （粒子あたり）とは大きく異なります。

1900年、パウル・ドルーゼは伝導電子を古典気体としてモデル化し、ヴィーデマン・フランツ則を説明しましたが、電子熱容量では失敗しました。古典統計では全粒子が

3k_B/2

ずつ寄与し、実験に反します。フェルミとディラックが新しい統計を確立（1926）した後、アーノルト・ゾンマーフェルトは1928年に金属電子へ適用しました。フェルミ面から

\sim k_BT

内の粒子だけが励起可能で、自然に

C_V \propto T

と温度に依らないパウリ磁化率を与えます。

E_F

が数 eV なら「フェルミ温度」

T_F \sim 10^4

–

10^5

K で、室温の金属もなお縮退気体です。シミュレーションが示す階段分布そのものです。