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最先端の物理学

非線形力学系、固定点、分岐

標準形 x˙=μ−x2\dot{x} = \mu - x^2 のパラメータ μ を掃引し、平衡点の対が生成・消滅する分岐点を見つけ、異なる初期条件で安定性を調べます。

発展

器具

  • 「パラメータ μ」スライダー（−100…+100）
  • 「初期条件 x₀」スライダー
  • 進化矢印付きの x˙\dot{x} 対 xx ベクトル場グラフ
  • オイラー法で積分した解 x(t) のグラフ

手順

  1. ベクトル場上で平衡点を見つける

    μ > 0 にすると曲線 x˙=μ−x2\dot{x} = \mu - x^2 が横軸と二点 x∗=±μx^* = \pm\sqrt{\mu} で交わります。μ を増やすと二点が離れ、0 へ近づけると互いに近づきます。

  2. 初期条件で安定性を試す

    μ > 0 のまま「初期条件 x₀」を上側平衡点の前後に動かし x(t) を見ます。x0>−μx_0 > -\sqrt{\mu} から出た解は +μ+\sqrt{\mu}（安定）に収束し、下側からは −∞-\infty へ流れます。f′(x)=−2xf'(x) = -2x の符号と一致して上側が不安定と分かります。

  3. サドルノード分岐をまたぐ

    μ を 0 以下に下げると、二つの平衡点が x∗=0x^* = 0 で合一して消滅します——サドルノード分岐です。μ < 0 ではすべての軌道が逃げます。対が現れる μ 値を記録し、代数的予測 μc=0\mu_c = 0 と比べてください。

シミュレーション

実験の歴史

力学系の定性的手法はアンリ・ポアンカレに始まります。三体問題（1889）と『天体力学の新方法』（1892–99）で、彼は解析解を求める代わりに解曲線、平衡点、安定性を直接研究しました。これが現代の分岐理論の芽です。 1920年代、バルタザール・ファン・デル・ポルは電子回路の自励振動を記述し、1963年エドワード・ローレンツは三方程式の大気モデルでカオスを発見、1975–78年ミッチェル・ファイゲンバウムは周期倍分岐カスケードの普遍性を証明しました。シミュレーションの標準形 x˙=μ−x2\dot{x} = \mu - x^2 は局所分岐の最も単純な雛形です。

関連する物理学者

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