解析力学
リウヴィルの定理
リウヴィルの定理――ハミルトン流は位相空間の体積を保存する（）――を視覚化します。2次元不変トーラス上を巻く軌道を観察し、周波数比 を変えて、軌道の構造が変わってもトーラス（運動の積分のレベル集合）は不変のままであることを確かめます。
器具
- 軌道が巻き付く3次元トーラスのキャンバス（ドラッグで回転、矢印キーで視点変更）
- スライダー「Tỉ lệ quấn ω₂/ω₁」（表示 0.xx–1.70）
- 「Tạm dừng / Chạy tiếp」ボタン
- 可積分系の2次元レベル集合としてのトーラスを説明する読み取り
手順
トーラス上の軌道を観察する
キャンバス上で赤い曲線がトーラス面に巻き付くのを観察します。ドラッグまたは矢印キーで視点を回転します。読み取りが示すように、トーラスは2自由度の可積分系の2次元レベル集合――面 一定、 一定――を表します。この面上のすべての初期点は面上に留まり、位相流は集合とその体積を保存します。
巻き比 ω₂/ω₁ を変える
スライダー「Tỉ lệ quấn ω₂/ω₁」を動かし、隣の読み取り（value/100 で表示）を見ます。比が単純な有理数（0.50、1.00、1.50）に近いとき軌道は数周でほぼ閉じ、無理数なら曲線がトーラスを稠密に覆います。「Tạm dừng」を押して軌道の形をよく観察し、「Chạy tiếp」で再開します。
位相体積保存と結びつける
ω₂/ω₁ が変わっても曲線は常に同じトーラス上に留まり、外に溢れたり点に潰れたりしないことに注目します。これは2つの結果――トーラスの不変性（作用 が保存されるため）とリウヴィルの定理による位相体積保存 ――を映しています。大きく異なる2つの比を比べ、無理数比では軌道がトーラスを埋め尽くすと予測してみましょう。
シミュレーション
実験の歴史
1838年、フランスの数学者ジョゼフ・リウヴィルは、ハミルトン方程式が生む位相流が非圧縮であることを証明しました。位相空間 の初期状態の領域は変形しても体積を保ち、 と表されます。この結果は後に統計力学の基礎となり、位相空間上の確率密度 は連続の方程式に従います。
シミュレーションの幾何学的な側面は軌道構造に関わります。n自由度の可積分系では、ドローネー（1840年代）の作用・角変数理論がリウヴィル（1855）により完全な形で述べられ、V. I. アーノルドにより現代的に厳密化されて、コンパクトなレベル集合が 次元トーラスであり、その上で運動は周波数 の線形流であることが示されます。2次元トーラス上では、 が有理数なら軌道は閉じ、無理数ならトーラスを稠密に覆います――図が示すとおりです。