Oscillations et ondes

Oscillations amorties et forcées ; résonance

L'amortissement réduit l'amplitude ; une force périodique entraîne des oscillations forcées, dont la réponse est forte près de la fréquence propre.

Dans les systèmes réels, frottement et traînée dissipent l'énergie mécanique, si bien que l'amplitude diminue avec le temps. Une force extérieure périodique continue impose au système une oscillation à sa fréquence.

m\ddot x+b\dot x+kx=F_0\cos(\omega t),\qquad \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}

Définition: Fréquence propre et résonance

$\omega_0=\sqrt{k/m}$ est la pulsation propre sans amortissement. En régime établi, l'amplitude forcée vaut $A(\omega)=F_0/\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(b\omega)^2}$ . Pour un faible amortissement, le pic est près de $\omega_0$ ; si l'amortissement est notable, la fréquence de résonance est inférieure à $\omega_0$ .

Faites varier fréquence d'excitation et amortissement ; observez le pic d'amplitude près de la fréquence propre.

Amortissement et maintien des oscillations

Un oscillateur libre amorti perd de l'énergie au profit de son environnement. En régime forcé établi, la source externe compense l'énergie dissipée à chaque période ; l'amplitude dépend de la fréquence d'excitation, de l'amortissement et de la force. La résonance ne crée pas d'énergie spontanément.

Exemple: Estimer la fréquence de résonance

Un système a $m=0,50$ kg, $k=200$ N/m et un faible amortissement. Estimez sa fréquence propre en Hz pour choisir la fréquence d'excitation.

Solution

$\omega_0=\sqrt{k/m}=20$ rad/s, donc $f_0=\omega_0/(2\pi)\approx3,18$ Hz. Avec un faible amortissement, la réponse maximale se trouve près de cette valeur.

Vérification rapide

En régime établi, l’oscillateur répond surtout à la fréquence excitatrice, et non à sa fréquence propre initiale. L’amplitude dépend de cette fréquence et de l’amortissement ; celui-ci abaisse et élargit le pic de résonance. La résonance peut amplifier utilement un mouvement, mais ponts et machines doivent éviter les vibrations excessives.

Pour appliquer un modèle, précisez les grandeurs maintenues constantes et choisissez le référentiel adapté. Inscrire les unités à côté des valeurs numériques évite de confondre des grandeurs ou des mesures avec des prédictions. Après le calcul, vérifiez dimensions, signes et cas limites : le résultat doit respecter les hypothèses, par exemple petites oscillations, milieu uniforme ou frottement négligeable. Si la situation réelle s’en écarte, expliquez la différence plutôt que d’appliquer une formule mécaniquement.

Pour vérifier le sens physique d’une relation, considérons des cas particuliers : équilibre, déplacement maximal, période complète ou absence de mouvement relatif. Une grandeur s’annule ou atteint souvent un extrême, ce qui révèle les erreurs de signe et la confusion entre période et fréquence. Pour comparer des expériences, ne modifiez qu’une condition à la fois afin d’identifier la cause d’un changement.

En régime forcé établi, à quelle fréquence le système oscille-t-il ?

Que se passe-t-il généralement lorsque l'excitation approche la résonance avec un faible amortissement ?

Références

Young, Freedman (2019). University Physics