Mécanique des fluides

Équations de Navier–Stokes

Illustrez l’écoulement de Couette — solution analytique de Navier–Stokes pour un fluide visqueux entre deux plaques sans gradient de pression. Faites varier la vitesse U de la plaque supérieure et l’écart H pour vérifier le profil $u(y)=Uy/H$ et le taux de cisaillement $du/dy=U/H$ .

Avancé

Matériel

Deux plaques planes parallèles et couche de fluide visqueux virtuel
Curseur de vitesse de la plaque supérieure U (0,02–0,20 m/s)
Curseur d’écartement H (20–100 mm)
Canevas 3D pivotant et affichage du taux de cisaillement U/H

Protocole

Installer l’écoulement de Couette
Réglez U ≈ 0,10 m/s et H ≈ 60 mm avec les curseurs. Observez les flèches de vitesse : la plaque inférieure est immobile et la vitesse croît linéairement jusqu’à U en haut — condition de non-glissement.
Vérifier le profil linéaire
Lisez le taux de cisaillement $du/dy=U/H$ en s⁻¹. Doublez U à H constant et vérifiez que le taux double ; chaque couche glisse sur sa voisine sous la contrainte $\tau=\mu\,U/H$ .
Modifier l’écart et comparer
Gardez U fixe, portez H de 20 mm à 100 mm : le profil reste linéaire mais U/H décroît comme l’inverse de l’écart. Faites pivoter le canevas et inspectez les flèches à toutes les hauteurs.

Simulation

Histoire de l’expérience

Claude-Louis Navier proposa en 1822 des équations pour un fluide visqueux, en ajoutant un terme de friction moléculaire aux équations qu’Euler avait écrites pour les fluides parfaits dans les années 1750. George Gabriel Stokes en redéduisit et popularisa la forme moderne à partir de 1845, d’où le double nom actuel. L’écoulement de Couette porte le nom de Maurice Couette, qui construisit en 1890 un appareil à cylindres concentriques tournants pour mesurer la viscosité — l’une des rares solutions analytiques exactes de Navier–Stokes. Au XXIᵉ siècle encore, l’existence et la régularité des solutions tridimensionnelles restent un problème du prix du millénaire non résolu de l’Institut Clay.

Physiciens associés

Daniel Bernoulli Leonhard Euler

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