Systèmes dynamiques non linéaires, points fixes et bifurcations

Matériel

• Curseur « Paramètre μ » (−100…+100)
• Curseur « Condition initiale x₀ »
• Graphe du champ de vecteurs $\dot{x}$ en fonction de $x$ avec flèches d'évolution
• Courbe de la solution x(t) intégrée par la méthode d'Euler

Protocole

1. Trouver les équilibres sur le champ de vecteurs

   Posez μ > 0 et observez la courbe $\dot{x} = \mu - x^2$ couper l'axe horizontal en deux points : $x^* = \pm\sqrt{\mu}$. Augmentez μ : la paire s'écarte ; ramenez μ vers 0 : les points se rapprochent.

2. Tester la stabilité par les conditions initiales

   Gardez μ > 0 et déplacez « Condition initiale x₀ » de part et d'autre de l'équilibre supérieur, puis regardez x(t). Les trajectoires partant de $x_0 > -\sqrt{\mu}$ convergent vers $+\sqrt{\mu}$ (stable) ; celles partant en dessous dérivent vers $-\infty$ — confirmant l'instabilité du point supérieur, en accord avec le signe de $f'(x) = -2x$.

3. Franchir la bifurcation selle-nœud

   Faites descendre μ sous 0 : les deux équilibres fusionnent en $x^* = 0$ puis s'annihilent — bifurcation selle-nœud. Pour μ < 0 toute trajectoire s'échappe ; en guise de vérification, notez la valeur de μ où la paire apparaît et comparez à la prédiction algébrique $\mu_c = 0$.

Simulation

Histoire de l’expérience

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