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Problème 2

À t=0t=0, un condensateur de capacité CC, initialement déchargé, est connecté en série avec une résistance RR et une pile idéale de force électromotrice EE. Le courant dans le sens de charge est positif et la résistance interne est négligée. Déterminer pour t≥0t\geq0 la charge q(t)q(t) de la plaque positive, le courant i(t)i(t) et l'énergie stockée dans le condensateur. On suppose des composants idéaux de valeurs constantes R>0R>0, C>0C>0 et E>0E>0, un interrupteur fermé à t=0t=0 et une charge initiale nulle. (a) Établir l’équation différentielle avec la loi des mailles. (b) Déterminer q(t)q(t) puis le courant, en identifiant la constante de temps. (c) Calculer l’énergie du condensateur et vérifier les limites en t=0t=0 et pour un temps très long.
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
i(t)=dqdt=ERe−t/(RC),UC(t)=q22C=12CE2(1−e−t/(RC))2i(t)=\frac{dq}{dt}=\frac{\mathcal E}{R}e^{-t/(RC)},\qquad U_C(t)=\frac{q^2}{2C}=\frac12C\mathcal E^2\left(1-e^{-t/(RC)}\right)^2
problems.proof.analysis

La dérivée de q(t)q(t) donne le courant de charge. L'énergie du champ électrique stockée dans le condensateur vaut q2/(2C)q^2/(2C), d'où l'expression indiquée.